Beweis der Ähnlichkeit?
Hi Leute!
Ich wollte fragen, wie man folgenden Satz, und somit die Ähnlichkeit, beweisen kann.
Satz:
Zwei Vielecke F und G sind zueinander ähnlich, wenn
(1) das Längenverhältnis je zweier Seiten des Vielecks F und das Längenverhältnis der entsprechenden Seiten des Vielecks G übereinstimmen und
(2) entsprechende Winkel gleich groß sind,
sonst nicht.
Danke im Voraus!
2 Antworten
Ich Vermute, dass dies am Besten durch Vollständige Induktion Zeigen lässt:
Zuerst nur die richtung: 1 und 2 sind erfüllt => F und G sind ähnlich
Für Dreiecke ist es klar, da alleine schon Ausreicht dass 3 Winkel identisch sind.
Angenommen die Aussage sei für n-Ecke Wahr.
Notation: F hat die Ecken F1, F2, ... Fn+1 und G die Ecken G1, G2, ..., Gn+1
Wobei die Ecken von F im Uhrzeigersinn nummeriert sind, und dass die Ecken von G so nummeriert sind, dass der Winkel an Gk gleich ist wie der winkel an Fk für alle k (also dass Gk dem Fk entspricht, dann sind die Punkte von G entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn nummeriert)
Bilde nun eine Verbindungsstrecke von G1 zu Gn sowie von F1 zu Fn
Dadurch werden die n+1 Ecke jeweils in ein n-Eck und in ein Dreieck aufgespalten.
Die Winkel An Fn+1 und Gn+1 sind nach Vorraussetzung identisch, und die Verbindunggeraden zu den beiden anderen Ecken von den jeweiligen Punkt haben auch das selbe Verhältnis nach Voraussetzung.
Somit folgt dass die Beiden Dreiecke Ähnlich sind. Daraus kann man folgern, dass für die beiden n-Ecke folgt, dass die Winkel an den entsprechenden Ecken identisch sind, und dass die Seitenverhältnisse gleich sind (überlege dir wieso, Skizzen könnten helfen)
Somit folgt, dass die n-Ecke ähnlich sind und man kann folgern dass die Zusammensetzung, also die n+1 Ecke ähnlich sind.
Somit folgt, dass wenn 1 und 2 Wahr sind, dass dann zwei Vielecke ähnlich sind.
Theoretisch fehlt noch die rückrichtung (wegen dem "sonst nicht") also:
Wenn zwei Vielecke Ähnlich sind, so ist 1 und 2 Wahr, das lässt sich glaube ich zeigen, wenn du die Vielecke in Dreiecke zerlegst und dann folgerst dass die Dreiecke alle ähnlich sind (und zueinander passen)
Die Definition hilft weiter. In Wiki steht dazu:
In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können. Das heißt, es gibt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen (also Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.
Da bei den gegebenen Bedingungen die erste Figur sich durch Streckung, Drehung und / oder Translation in die zweite überführen lässt, sind die Figuren ähnlich.