Berechne das Produkt z1 * z2?
Wie macht man das?
2 Antworten
Joa. Bleiben die Zahlen in der algebraischen/kathetichen Form (die Form die angegeben ist) benutzt man einfach die binomische Formel:
Zuerst in der algebraische Form schreiben:
z_{1} = (5, π / 4) = 5 + π / 4 * i = x_{1} + y_{1} * i
z_{2} = (4, π / 5) = 4 + π / 5 * i = x_{2} + y_{2} * i
(allgemeine Formel herleiten:)
z_{3} = z_{1} * z_{2}
z_{1} * z_{2} = (x_{1} + y_{1} * i) * (x_{2} + y_{2} * i)
z_{1} * z_{2} = x_{1} * x_{2} + x_{1} * y_{2} * i + x_{2} * y_{1} * i + y_{1} * y_{2} * i²
z_{1} * z_{2} = x_{1} * x_{2} + x_{1} * y_{2} * i + x_{2} * y_{1} * i + y_{1} * y_{2} * -1
z_{1} * z_{2} = x_{1} * x_{2} + x_{1} * y_{2} * i + x_{2} * y_{1} * i - y_{1} * y_{2}
z_{1} * z_{2} = x_{1} * x_{2} - y_{1} * y_{2} + x_{1} * y_{2} * i + x_{2} * y_{1} * i
z_{1} * z_{2} = x_{1} * x_{2} - y_{1} * y_{2} + (x_{1} * y_{2} + x_{2} * y_{1}) * i
z_{3} = x_{1} * x_{2} - y_{1} * y_{2} + (x_{1} * y_{2} + x_{2} * y_{1}) * i
Re(z_{3}) = x_{1} * x_{2} - y_{1} * y_{2}
Im(z_{3}) = x_{1} * y_{2} + x_{2} * y_{1}
(Werte in die allgemeine Formel einsetzen:)
z_{3} = x_{1} * x_{2} - y_{1} * y_{2} + (x_{1} * y_{2} + x_{2} * y_{1}) * i
z_{3} = 5 * 4 - π / 4 * π / 5 + (5 * π / 5 + 4 * π / 4) * i
z_{3} = 20 - π² / 20 + (π + π) * i
z_{3} = 20 - π² / 20 + 2 * π * i
z_{3} ≈ 19,51 + 6,28 * i
Lösung:
z_{1} * z_{2} = 20 - π² / 20 + 2 * π * i
z_{1} * z_{2} ≈ 19,51 + 6,28 * i
L = {20 - π² / 20 + 2 * π * i}
L ≈ {19,51 + 6,28 * i}
In der Polarform nutzt man die Potenzgesetze und die binomische Formel zum zusammenfassen/lösen.
In der trigonometrischen Form lässt es sich nicht direkt berechnen. Hier müssen wir die Therme einfach in Polarform oder algebraische Form bringen.
(Hierzu können Sie sich auch den Wikipedia-Artikel zu komplexen Zahlen ("komplexe Zahl") ansehen. Dort wird das rechnen in den einzelnen Formen und den unterschiedlichen Operationen in allgemeinen und an Beispielen gezeigt.)
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte. ^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Wenn es sich um komplexe Zahlen handelt, dann in dem man die Regeln für die Multiplikation komplexer Zahlen anwendet.