Frage von Kathexx, 16

Bep, Kosten und Erlösfunktion?

Hallo, Ich verstehe die Matheaufgabe leider nicht wirklich.. Ein Betrieb stellt eine Flüssigkeit her, die für 50,00 EUR je Liter verkauft wird. Bei einer Produktion von x Litern täglich entstehenden Kosten in Höhe von K(x) = 0,15625x^2+12,5x+2000. Untersuchen Sie grafisch und rechnerisch die Situation der Erlöse und Kosten des Betriebes. Habt ihr eine Ahnung wie ich das Gleichsetzen soll? Meine Lösung bisher: G(x)= 50x-(0.15625x^2+12,5x+2000) =50x-0.15625x^2-12,5x-2000 =37,5x-0,15625x^2-2000 = -0,15625x^2+37,5x-2000 Nun weiß ich leider nicht wie ich weiter rechnen soll.. Bin dankbar für jede Antwort

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

die Kostenfunktion ist eine nach oben offene Parabel. Wenn du 50x abziehst, bekommst Du eine Funktion, die Dir die mengenabhängigen Kosten zeigt, von denen der Erlös bereits abgezogen ist.

Für Dich als Hersteller ist natürlich interessant, für welche Werte von x diese Parabel unterhalb der x-Achse ist, weil dies bedeutet, daß Du am Ende Geld herausbekommst anstatt nur zu investieren. Da es hier um Kosten geht, also um Geld, das Du zahlen mußt, ist für Dich ein negativer Wert besser, der bedeutet nämlich Gewinn.

Du berechnest also die beiden Nullstellen der Funktion
f(x)=0,15625x²-37,5x+2000. Zwischen diesen beiden Nullstellen liegt der Gewinnbereich. Du kannst die Aufgabe nach der abc-Formel, der pq-Formel (in diesem Fall vorher 0,15625 ausklammern) oder über Determinanten lösen (ich habe einfach den Taschenrechner benutzt, der mir die beiden Nullstellen x=80 und x=160 ausspuckt).

Das bedeutet: Wenn Du zwischen 80 und 160 Liter von dem Zeug losschlägst, machst Du Gewinn, ansonsten lohnt sich der Aufwand nicht.

Wenn Du die Kostenfunktion von 50x abziehst, bekommst Du die gleichen Nullstellen, nur daß die Parabel diesmal nach unten geöffnet ist und der Bereich oberhalb der x-Achse der Gewinnbereich ist. Das ist gehopst wie gesprungen.

Der größte Gewinn liegt natürlich genau zwischen den beiden Nullstellen bei x=120.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 6

Gewinn = Erlös - Kosten

f(G)=f(E) - f(K)

f(G)= 50 Euro/l * x dies sind die Einnahmen und x ist die verkaufte Literzahl

f(K)= 0,15..*x^2 ..... eingesetzt

f(G)= 50 * x -( 0,15..*x^2 ...) = - 0,15625 *x^2 + 37,5 *x - 2000

Dies ist eine Parabel der Form y=f(x)= a2 *x^2+a1 *x +ao

Scheitelpunkt bei x= - (a1)/(2*a2)=120 und y= - (a1)^2/(4*a2) + ao=250

Nullstellen bei x1=80 l hier beginnt der Gewinn

x2=160 l hier endet der Gewinn

Gewinnmaximum im Scheitelpunkt x=120 l verkaufte Literzahl

und einen Gewinn von f(120)=250 Euro

HINWEIS : Ermittlung der Nullstellen bei einer Parabel mit der p-q-Formel

siehe auch die "Lösbarkeitsregeln"

siehe Mathe-Formelbuch,wie den "Kuchling",den man privat in jeden Buchladen kaufen kann.

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