Frage von adenosi, 81

Bei Integration durch substitution wann dx/du und wann du/dx und was ist der Unterschied?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PeterKremsner, 50

Bei der Substitution berechnest du immer du/dx = du(x)/dx

Das bedeutet dein du/dx ist gleich der Ableitung deines u nach x

Damit du weist wie du dein Differential dx durch du ersetzen kannst rechnest du dir dx/du. Sprich den Kehrwert des obrigen Ausdrucks aus und multiplizierst mit du.

Dann bekommst du etwas in der Form dx = f(x)*du raus. Das f(x) ist der Kehrwert der Ableitung von vorher.

Jetzt weist du wie du dein dx in der Ursprünglichen Integration ersetzen musst, damit du nach du Integrieren kannst.

du/dx und dx/du gibt es jetzt so keinen Unterschied außer, dass das eine der Kehrwert des anderen ist.

Natürlich steckt hinter dem "Kehrwert" nicht der wirkliche Kehrwert sondern bestimmte mathematische Operationen auf Differentiale, aber solange man im Raum der Reellen Zahlen, oder meist auch Komplexe Zahlen bleibt, kannst du dir das so mit dem normalen Kehrwert vorstellen.

Kommentar von adenosi ,

Beim Integral ∫ x / √(4-x^2) dx, normalerweise würde ich jetzte

u = 2sin(a) und da/dx → dx = da/2sin(a)

substituieren. Stattdessen wurde jetzte aber

u = 2sin(a) und dx/da → dx = 2sin(a) da

genommen. Ist beides dasselbe?

Kommentar von adenosi ,

statt u meinte ich x

Kommentar von PeterKremsner ,

Du solltest in dem Fall kein da Einführen.

wenn du die Gleichung u = 2*sin(x) als Substitution heranziehst  dann hast du:

du/dx = 2*cos(x)

du = 2*cos(x) * dx

Nur wird dir in dem Integral diese Substitution nicht viel bringen.

Du kannst aber u = x² substituieren und dann:

du/dx = 2x

du = 2x * dx bzw dx = du/2x

und jetzt ins Integral einsetzen:


∫ x / √(4-u) du/(2x) //Die x in der Gleichung sind nur noch Formel zur Erklärung des Rechenganges drinnen.


Das führt zu:

1/2 * ∫ 1 / √(4-u) du = 1/2 * ∫ (4-u)^(-1/2) du

Du kannst hier noch eine Substitution machen, wenn du möchtest obwohl sie nicht mehr Notwendig ist:

z = 4-u

dz/du = -1

du = dz/-1

führt zu:

-1/2 * ∫ (z)^(-1/2) dz = -1/2 * √z /(1/2) = -√z

jetzt Rücksubstituieren: 

-√z = -√(4-u) = -√(4-x²)








Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Das ist der sinnvolle Einsatz, nach dem sich alle immer fragen, wenn sie das erste Mal formal das Integral wahrgenommen haben. Aber genau wie eben f(x) ein anderes Ergebnis hat als f(t), wenn man a²t² ableitet, spielt auch das Differential dx oder dz eine Rolle hinsichtlich des zu integrierenden Teils.

Wenn du substituierst und z.B. ∫ f(z) dx integrieren willst, gehst das nicht, sondern du musst auch das dx in dz umrechnen. Das ist ein gewöhnlicher Rechenprozess, der so gestrickt wurde, dass dz / dx wie eine Division angegangen werden kann. Wir kennen diese Art der Wohldefiniertheit von negativen und gebrochenen Exponenten.

Kommentar von Volens ,

Kleines Beispiel:

∫ 4(3x+4)^5 dx

                                      z = 3x + 4
                                dz/dx = 3            das ist die Ableitung z' nach x
                                    dx  = dz / 3

Daher substituiert:     ∫ 4z^5 dz/3   = ∫ 4/3 z^5 dz

Das kann man integrieren und nachher wieder resubstituieren.

                              

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

komische Frage; du substituierst einen Term mit x durch u;

dann x ' = dx/du

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