Bedingungen bei diesen Aufaben?
Es geht um Aufgaben 15, 16 und 17. Danke im voraus:)
2 Antworten
15)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) f(-x) = -f(x) --> b = d = 0
(2) Wendepunkt kann nur bei x = 0 liegen, daraus folgt f'(0) = c = 7/4
(3) a folgt aus f(4) = 3
16)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) Wendepunkt im Ursprung -> punktsymmetrisch --> b = d = 0
(2) f'(0) = c = 1
(3) f'(3) = 27a + c = 0, daraus folgt a
17)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) f(0) = 6 = d
(2) g hat die Steigung -1. f schneidet g rechtwinkelig -> f'(0) = +1 -> c = 1
(3) g berührt f -> f'(6) = 3*6²*a + 2*6*b + 1 = -1 (Steigung von g)
(4) f(6) = a*6³ + b*6² + 6 + 6 = 0
aus (3),(4) folgen a,b
Durch die Punktsymmetrie vereinfacht sich die Funktion so sehr, dass du sogar nur noch zwei Bedingungen brauchst. Denn deine Variablen sind nur noch a und c. Du brauchst nur noch zwei Gleichungen, um beide Unbekannte bestimmen zu können. Die dritte Bedingung ist ja die Punktsymmetrie, aus der b = 0 und d = 0 folgt.
Du brauchst pro Variable eine Bedingung. Also im extremsten Fall vier Bedingungen. Siehe Aufgabe 17.
Hi,
zunächst "übersetzt" man die Aussagen in Mathematik und löst sie dann.
Aufgabe 15Eine ganzrationale Funktion 3. Grades
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat allgemein folgende Funktionsgleichung:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
ist punktsymmetrisch zum Ursprung,
Diese Information liefert und schon sehr viel, nämlich:
- bei Punktsymmetrie zum Ursprung hat die Funktion nur ungerade Exponenten, das heißt, bx² und d fliegen raus: f(x) = ax³ + cx
- d = 0, da die Funktion durch den Ursprung verläuft (passt auch mit der eben vereinfachten Gleichung)
geht durch den Punkt P(4|3)
Bedeutet: f(4) = 3. Das kann man nun einsetzen:
3 = a*4³ + c*4
und hat in seinem Wendepunkt die Steigung m = 7/4.
Das bedeutet, dass die erste Ableitung bei x = 0 die Lösung 7/4 hat, denn die erste Ableitung an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle an:
3a*0² + c = 7/4
c = 7/4
Das kannst du nun in die eben aufgestellte Gleichung einsetzen und a ausrechnen:
3 = 64a + 4*(7/4)
3 = 64a + 7
-4 = 64a
a = -4/64 = -1/16
Die Funktionsgleichung ist als f(x) = -1/16 x³ + 7/4.
Aufgabe 16Eine Schar von Parabeln 3. Ordnung
Wieder die allgemeine Gleichung aufstellen: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
hat den Ursprung des Koordinatensystems als gemeinsamen Wendepunkt.
Es gilt d = 0, da die Schar durch den Ursprung verläuft. Auch ist die Funktion punktsymmetrisch, es gilt erneut b = 0:
f(x) = ax³ + cx.
Bestimme die Gleichung derjenigen Scharenkurve, die an der Stelle x = 0 die Steigung 1
Wieder: Die Erste Ableitung an der Stelle x0 entspricht der Steigung in der Stelle:
f'(x) = 3ax² + c
Der Term 3ax² fällt wegen x = 0 weg, es ergibt sich c = 1.
und an der Stelle x = 3 einen Hochpunkt hat.
Hochpunkt bedeutet: Die erste Ableitung der Funktion hat an der Stelle x = 3 den Funktionswert 0:
0 = 3a*3² + 1 (c = 1 kennen wir ja)
0 = 27a + 1
-1 = 27a
a = -1/27
Die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = -1/27 x³ + x.
Aufgabe 17Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung x + y = 6.
Das formulieren wir uns in die altbekannte Form um:
y = g(x) = -x + 6.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
berührt g in P(6|0)
Daraus erhalten wir die folgenden Informationen:
- f(6) = 0, da der Graph die x-Achse an dieser Stelle berührt;
- g ist die Tangente von f(x) an der Stelle x = 6, weshalb die erste Ableitung an dieser Stelle die Steigung -1 haben muss: f'(6) = -1
Es ergibt sich: 3a*6² + 2*6*b + c = -1
und schneidet g in Q(0|6) rechtwinklig.
Das heißt: g ist die sogenannte Normale zur Tangente an der Stelle x = 0. Die Tangente hat die Steigung -1/m1, also ist die Steigung an der Stelle x = 0 m2 = 1:
3a*0² + 2*0*b + c = 1
Es ergibt sich c = 1.
Die Formel 3a*6² + 2*6*b + c = -1 stellen wir nun nach a oder b um - ist egal:
108a + 12b + 1 = -1
12b = -108a -2
b = -9a -1/6
Nun wissen wir noch, dass f(6) = 0:
a*6³ + b*6² + c*6 + d
Wir wissen, dass b = -9a -1/6, c = 1 und d = 6; all das setzen wir ein und lösen nach a auf:
216a + 36*(-9a -1/6) + 1*6 + 6 = 0
216a - 324a -6 +12 = 0
-108a = -6
a = 1/18
Das nun in die nach b aufgelöste Gleichung einsetzen:
b = -9a - 1/6 = -9/18 - 3/18 = -12/18 = -2/3
Die Gleichung ist also:
f(x) = 1/18 x³ - 2/3 x² + x + 6.
Wenn noch etwas unklar ist, frag gerne nach.
LG
Brauche ich nur 3 Bedingungen, wenn eine Funktion 3. Grades punktsymmetrisch zum Ursprung ist?