Auslenkwinkel beim Fadenpendel?
Hey Leute, Weiß jemand wie ich hier an den max. Auslenkwinkel komme? Er soll wohl 5,4° betragen.
Hier die Aufgabe: An einem Kran hängt ein masseloses Fadenpendel mit Länge 12m, an welchem eine Last hängt. Der Kran bewegt sich zunächst mit einer Geschwindigkeit von 1m/s (das Pendel und die daran hängende Masse also auch). Plötzlich stoppt der Kran und das Fadenpendel wird in Schwingung versetzt.
Die einzigen gegeben Infos sind die Fadenlänge l=12m und die Geschwindigkeit zu Beginn der Schwingung mit v=1m/s. Ich weiß leider nicht wie ich aus diesen Informationen auf den max. Auslenkwinkel schließen soll.
Bitte nehmt euch die Zeit kurz und helft mir.. Danke!
5 Antworten
Leute, verwendet den Energiesatz, statt mit Geschwindigkeiten herumzuhantieren!
Das Ende des Fadenpendels hat eine gewisse Masse m (das Wort »masselos« bezieht sich auf den Faden), die aber keine wesentliche Rolle spielt. Es handelt sich dabei um eine vereinfachende Annahme.
Damit hat das Pendel während der Fahrt (bezogen auf das Koordinatensystem der Straße, Bewegung ist ja immer relativ) eine gewisse kinetische Energie
(1) E = ½mv²
die es auch nach dem Stopp behält.
Beim »Versuch«, die Bewegung fortzusetzen, wird es durch den Faden dazu gezwungen, einen festen Abstand L (ich schreib's mal groß, damit man sehen kann, dass es kein großes »i« ist) zum Drehpunkt zu halten und wird dadurch nach oben gezogen.
Relativ zum Drehpunkt lässt sich die Position also durch
(2.1) |x'› = (L·sin(α); –L·cos(α))
beschreiben, relativ zu seinem Ausgangspunkt also als
(2.2) |x› = |x› + (0; L) = ( L·sin(α); L·[1–cos(α)]),
wobei es die maximale potentielle Energie
(3) m·g·L(1 – cos(α)) = E = ½mv²
erreicht, bevor es zurückpendelt. Die Masse m kürzt sich sofort raus, ich sagte ja schon eingangs, dass sie keine Rolle spielt. Das kannst Du zunächst nach cos(α) auflösen und musst dann nur noch den Arcus Cosinus bilden.
Alternativer weg: Die Winkelgeschwindigkeit w=√(g/l). Dabei gilt:
s(t)=s(max)×sin(w×t) und (Ableitung)
v(t)=s(max)×w×sin(w×t)
Und wegen: s(max)×w=v(max) gilt dann
s(max)=v(max)/w wobei v immer beim Durchlaufen der "Ruhelage" maximal ist, also gleich 1 m/s in deiner Aufgabe ist.
Die Herleitung von w=√(g/l) erfolgt analog zur Beschreibung in meiner anderen Antwort.
Danke erstmal! Darf ich fragen wie du auf s(max)=v(max)/w kommst? Teilst du s(t) durch v(t)? Das würde funktionieren, jedoch ist doch die Ableitung vom sin der Cosinus? Dann würde s(t)/v(t)=s(max)=v(max)/w nicht mehr stimmen..
Stimmt, ich habe v(t) falsch abgeleitet. Tatsächlich gilt v(t)=s(max)×w×cos(w×t). Der Maximalwert der Ausdrücke sin(w×t) und cos(w×t) ist aber jeweils 1. Demnach ergibt sich der Maximalwert (also s(max) bzw. v(max)) jeweils durch den Vorfaktor, bei v(t) also tatsächlich s(max)×w. Durch umstellen davon kommt man dann auf besagtes s(max)=v(max)/w. Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich
Kinetische Energie am Anfang ist gleich der potentiellen Energie am höchsten Punkt.
1/2 * m * v^2 = m * g * h
(m kürzt sich raus)
und h ist trigonometrisch h = 12 - 12 * cos(alpha).
Der Rest ist Umformen nach alpha
Du musst das zeichnen und siehst dann, wie sich aus der Zugkraft des Fadens und der Gravitation eine resultierende Kraft in Richtung der Ruheposition ergibt. Diese kannst du dann durch trigonometrische Funktionen ausdrücken. Aus dieser Kraft resultiert eine Beschleunigung, die der ursprünglichen Geschwindigkeit von 1 m/s entgegenwirkt und schlussendlich die Richtung der Schwingung ändert und somit die maximale Auslenkung festlegt.
Schwingungsdauer des Fadenpendels T= 2*pi *Wurzel( l/g)
Weg-Zeit-Funktion y=f(x)= a *sin(w*t) abgeleitet ergibt die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion
y´=f´(x)=v(t)= w *a* cos(w*t)
w=2*pi/T= 2*pi /(2*pi * Wurzel(l/g)=1/(Wurzel(12/9,81)=0,875 rad/sekunde
also v= w *a * cos(w *t) mit w*t=0 hier ist v= 1 m/s
1 m/s= 0,875 rad/s * a * cos( 0) ergibt a=1 m/s/ 0,875 rad7s=1,1428 m
Winkel in Bogenmaß Phi= s/l= 1,1428 m/12 m=0,095.. rad
1 °=2*pi/360°=0,017453 rad
also Winkel Alpha (a)=0,095../0,017453=5,44..°
HINWEIS : y=f(x)= a*sin(w*t) gilt,wenn das Bezugssystem (x-y-Koordinatensystem) mit seinen Ursprung im Ruhepunkt des Fadenpendels liegt.