Aus einem Normalvektor und Punkt eine Ebene bestimmen (Parameterform)?

Hallo,

mir ist der Normalvektor bekannt und ein Punkt in der Ebene. Nun müsste ich aus dem Normalvektor zwei Spannvektoren bestimmen, damit ich eine Ebenengleichung in der Parameterform habe. Ich habe ein wenig gegrübelt und kam zum Schluss, dass ich doch an sich nur an ein Spannvektor aus dem Normalvektor bestimmen kann. Mir fällt leider die Idee einen zweiten zu finden.

Answer 1

[mihisu]

Mit dem Normalenvektor und dem Punkt kann man eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform aufstellen.

Aus der Ebenengleichung kann man dann zwei weitere, beliebige Punkte in der Ebene bestimmen. (Oft bieten sich hier Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.)

Dann hast du drei Punkte der Ebene gegeben und kannst mit „Spitze minus Fuß“ entsprechende Verbindungsvektoren als Richtungsvektoren der Ebene berechnen.

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Beispiel:

(1, 2, 3)ᵀ sei ein Normalenvektor der Ebene und (4, 5, 6) ein Punkt in der Ebene. Dann könnte man folgendermaßen vorgehen, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten...

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Ansonsten könntest du dir auch auf andere Weise zwei zum Normalenvektor orthogonale Vektoren besorgen, die du dann als Richtungsvektoren für die Parameterform verwenden kannst. Beispielsweise kann man nutzen, dass das Kreuzprodukt orthogonal zu den beiden verwendeten Vektoren ist.

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Beispiel:

(1, 2, 3)ᵀ sei ein Normalenvektor der Ebene und (4, 5, 6) ein Punkt in der Ebene. Dann könnte man folgendermaßen vorgehen, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten...

Answer 2

[MichaelH77]

Normalenform

[x-p]*n = 0

x ist ein beliebiger Punkt der Ebene
p ist der bekannte Ortsvektor eines Punktes der Ebene
n ist der Normalenvektor

rechne durch Ausmultiplizieren die Koordinatengleichung der Ebene aus

durch systematisches Probieren kannst du 3 Punkte der Ebene ermitteln. Damit kannst du dann zwei Richtungsvektoren aufstellen

Spannvektoren kannst du auch finden, in dem du einen Vektor suchst, der skalar mit dem Normalenvektor multipliziert 0 ergibt, also senkrecht zum Normalenvektor verläuft.