Aufgabe Funktionenschar?
Wie macht man diese Aufgabe?
2 Antworten
Einstieg:
a1)
Erste Ableitung bilden:
f'(x) = 3 * x² + 6 * x - b
Extrema bestimmen:
0 = 3 * x² + 6 * x - b
0 = x² + 2 * x - (b / 3)
x = -1 +-√(1 + (b / 3))
1 = -1 + 2
-3 = -1 - 2
Folglich:
√(1 + (b / 3)) = 2
1 + (b / 3) = 4
b = 9
...
2)
Bestimme zunächst die Ableitungen:
f(x) = (1 / 4) * x⁴ - (a / 3) * x³ + (1 / 2) * x²
f'(x) = x³ - a * x² + x = x * (x² - a * x + 1)
f''(x) = 3 * x² - 2 * a * x + 1
f'''(x) = 6 * x - 2 * a
Bedingungen (notwendig und hinreichend) für Extrema:
f'(x) = 0 ∧ f''(x) ≠ 0
Bedingungen (notwendig und hinreichend) für Sattelpunkte:
f'(x) = 0 ∧ f''(x) = 0 ∧ f'''(x) ≠ 0
a) a = -2
Extrema:
0 = x³ + 2 * x² + x
0 = x * (x² + 2 * x + 1)
x_1 = 0
x_2 = -1 +-√(1 - 1) = -1
Prüfung hinreichende Bedingung:
f''(0) = 1
E (0│0)
f''(-1) = 0
f'''(-1) = -2
SP (-1│1 / 12)
Für a = -2 gibt es nur ein Extrema.
b)
Du lässt die Variable a bestehen.
x_1 = 0
E (0│0) (ist unabhängig von a)
x_2 = (1 / 2) * a +-√((1 / 2) * a)² - 1)
Ist die Diskriminante kleiner Null, so gibt es keine Lösung, also
((1 / 2) * a)² - 1) < 0
-2 < a < 2
Für -2 < a < 2 gibt es nur ein Extrema.
Lt. 1) gibt es für a = -2 auch nur ein Extrema. Zu prüfen ist noch der Fall a = 2 (gibt auch nur ein Extrema).
c)
Max. sind 3 Extrema möglich und zwar für
((1 / 2) * a)² - 1) > 0
a < - 2 ∨ a > 2
Für a < - 2 ∨ a > 2 gibt es 3 Extrema.
Zu prüfen wäre noch, ob die zweite Ableitung für a < - 2 ∨ a > 2 Null werden kann.
Danke. Aber was passiert wenn man für x 1 und -3 einsetzt?Da verschwindet ja aufeinmal die wurzel mit dem b/3.
Soll sie ja auch , dann f'(x) = 0 ist , wenn das b korrekt gewählt .
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so geht es los : erste Abl gleich Null :::: 0 = x² + 2 * x - (b / 3)
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diese qua Glg soll die Lösungen 1 und -3 haben
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Vieta :
weil 1 + -3 = -2 = -p ( - - 2) ist passt das schon mal
nun noch 1*-3 = -3 muss q sein
-b/3 = -3
-b = -9
b = 9 ............fertig
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a2)easy
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a3)
0 = x² + 2 * x - (b / 3) als quadratische Glg hat keine Lösungen , wenn die Determinante gleich Null
Det ist das was in der pq unter dem Wurzelzeichen man findet .
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wurz( (2/2)² - ( -b/3) )
mit
0 = 1 + b/3 findet man die Grenze
Danke. Aber was passiert wenn man für x 1 und -3 einsetzt?Da verschwindet ja aufeinmal die wurzel mit dem b/3.
Und wie kommt man auf den letzten Schritt? Warum wird es gleich 2 gesetzt?