Aufgabe - Federpendel - Verstehe die Lösung nicht?
Ein 300 g schwerer Körper schwingt an einer Schraubenfeder mit der Amplitude x0= 12 cm und der Periodendauer T = 2
Berechne die Federkonstante D der Feder. b)Wie groß ist die Geschwindigkeit v beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und bei der größten Auslenkung?
Soo also ich habe so begonnen:
y(t) = y_max * sin( omega* t)
omega = 4
y_max = 0,06
y(t) abgeleitet:
v(t) = 0,24 * sin (4t)
und jetzt kommt der Hacken.. Intuitiv habe ich v(t) gleich null gesetzt (für die Gleichgewichtslage).. Das stimmt ja auch aber ich soll das ja beweisen :/
Jedenfalls habe ich dann für t = 1/4
Für maximale Auslenkung hätte ich gedacht y(t) = y_max zu setzen.. Ist der Ansatz richtig?
Jetzt komme ich mal zu der Lösung, die auf der Seite steht:
(unten als Abbildung)
Also da haben die auch einfach v(t) gleich null gesetzt..
Außerdem haben die am Ende T/4 raus und nicht 1/4 .. oder soll das die Zeit sein, bei der die Auslenkung maximal ist?
Kann mir jemand erklären was die da gemacht haben?
1 Antwort
Eines vorab: niemals zu früh irgendwelche Zahlen einsetzen und mit den Zahlen weiterrechnen. Das ist unprofessionell.
Außerdem fällt mir auf, dass du ständig y(t) verwendest, obwohl die Amplitude als x₀ bezeichnet wird. Das kann nur Verwirrung stiften, denn zu einer Amplitude mit der Bezeichnung x₀ passt als Bezeichnung für die Auslenkung sehr viel besser x(t).
Du hast, wenn ich das richtig sehe, die Masse m=3×10¯¹kg des Oszillators und die Periodendauer T=2s (ich nehme an, dass ist gemeint). Daraus sollst Du die Federkonstante D ausrechnen.
Aus der Herleitung dieser Schwingungsgleichung
(1) x(t) = x₀·cos(ωt)
aus der Differentialgleichung
(2) d²x(t)/dt² = –(D/m)x
lässt sich leicht
(3) D/m = ω² = 4π²/Τ²
⇔ D = m·4π²/T²
herleiten. Jetzt erst solltest Du Zahlen einsetzen:
D = 3×10¯¹kg·π²/s² ≈ 2,94kg/s²,
Wobei 1kg/s²=1N/m ist und ich π² einfach mal mit 9,8 veranschlagt habe (wie ich darauf komme, werde ich in einem Kommentar gern zum Besten geben).
Dass v(0)=0 ist, hast Du richtig erkannt, aber dies ist nicht in der Gleichgewichtslage der Fall, wo die Geschwindigkeit maximal wird, sondern in jedem der beiden Umkehrpunkte. Dies ergibt sich übrigens aus dem Sinus bei dx/dt.
Um die maximale Geschwindigkeit auszurechnen, benötigst du natürlich unbedingt noch die maximale Auslenkung x₀ und den Energieerhaltungssatz.
Sorry, im Buch steht es immer mit y .. hab es mir so angwöhnt
Hab die Aufgabe kopiert und da ist wohl ein pi verschwunden.. T = pi / 2 --> Dann kommt 4,8 N/m raus :)
Allet klaro
Bei der Ableitung eines Sinus kommt ein Cosinus raus.
Habe ich das nachgefragt? :D
Nein, Du hast es nicht nachgefragt, aber Du hattest geschrieben:
Soo also ich habe so begonnen:
y(t) = y_max * sin( omega* t)
omega = 4
y_max = 0,06
y(t) abgeleitet:
v(t) = 0,24 * sin (4t)
Wenn schon y(t) ~ sin(ωt) ist (was bedeutet, dass Du den Zeitnullpunkt auf den Durchgang durch die Gleichgewichtslage legst), kann v(t) es nicht sein, sondern muss ~cos(ωt) sein.
Die 0,24 ist um einen Faktor 2 zu klein (die Amplitude ist die maximale Auslenkung, nicht das Doppelte davon, man muss also nicht mehr durch 2 teilen), und die Maßeinheit m/s fehlt.
O. K., wenn T =½π s sind, ist tatsächlich ω = 4/s. Aber eben 4/s, nicht einfach 4! Dann ist auch D = 0,48N/m korrekt. für die Berechnung der Federkonstante brauchst du die Amplitude allerdings nicht.
Ja ok, ich habs doch schon verstanden..
Muss ja jetzt nur die Nullstellen der zweiten Ableitung suchen ( so wie es Hauptschule gemacht hat)
Ach sorry Einheiten vergessen Hauptschule11 meine ich natürlich :)
Mach's nicht komplizierter als es ist! Es ist eine harmonische Schwingung, da liegen die Nullstellen der 2. Ableitung genau da, wo die der ursprünglichen Funktion liegen.
Macht auch Sinn, denn x(t)=0 bedeutet Gleichgewichtslage, und da ist dann auch
F_x = m·d²x(t)/dt² = 0,
wobei das Dein y(t) ist.
Danke für den Ratschlag, ich bearbeite die Aufgabe morgen nochmal Schritt für Schritt, hab jetzt keine Kraft mehr
Ach ja, und BITTE, wenn Du schon Zahlen einsetzt, dann nicht ohne Maßeinheit!
Es ist nicht »y_max = 0,06«, sondern, wenn schon, ist »y_max« respektive x₀ = 0,12m.
Ich habe auch mal gefragt, ob die Amplitude die gesamte Spanne zwischen den beiden Umkehrpunkten sei, habe mich aber dessen belehren lassen, dass sie nichts anderes ist als die maximale Auslenkung.
Entgegen einem Parlamentsbeschluss in einem US-Bundesstaat ist auch nicht π=4, sodass »ω=4« ebenfalls falsch ist, sowieso, weil ohne Maßeinheit.
Es ist ω =2π/T = 2π/(2s) =π/s, sprich »pi pro Sekunde«.
Bei der Ableitung eines Sinus kommt ein Cosinus raus.