Frage von roromoloko, 161

Aufgabe - Federpendel - Verstehe die Lösung nicht?

Ein 300 g schwerer Körper schwingt an einer Schraubenfeder mit der Amplitude x0= 12 cm und der Periodendauer T = 2

Berechne die Federkonstante D der Feder. b)Wie groß ist die Geschwindigkeit v beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und bei der größten Auslenkung?

Soo also ich habe so begonnen:

y(t) = y_max * sin( omega* t)

omega = 4

y_max = 0,06

y(t) abgeleitet:

v(t) = 0,24 * sin (4t)

und jetzt kommt der Hacken.. Intuitiv habe ich v(t) gleich null gesetzt (für die Gleichgewichtslage).. Das stimmt ja auch aber ich soll das ja beweisen :/

Jedenfalls habe ich dann für t = 1/4

Für maximale Auslenkung hätte ich gedacht y(t) = y_max zu setzen.. Ist der Ansatz richtig?

Jetzt komme ich mal zu der Lösung, die auf der Seite steht:

(unten als Abbildung)

Also da haben die auch einfach v(t) gleich null gesetzt..

Außerdem haben die am Ende T/4 raus und nicht 1/4 .. oder soll das die Zeit sein, bei der die Auslenkung maximal ist?

Kann mir jemand erklären was die da gemacht haben?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Hauptschule11, 49

Rechnung siehe Foto

Kommentar von roromoloko ,

Also ehrlich gesagt verstehe ich gar nicht deinen Gedankengang :D

Also zuerst hast du ja D berrechnet, dann t und dann t in v(t)

Aber welcher Zeitpunkt beschreibt jetzt T? Die gleichgewichtslage oder der Zeitpunkt der maximalen Auslenkung..?

Du kommst ja zum richtigen Ergebnis, aber ich dachte man soll es mit dem cosinus machen (Begründung von shitter)

Kommentar von roromoloko ,

Die maximale Auslenkung müsste ja zum Zeitpunkt t = 0  (beim cosinus ) sein.. Also ist 0,48 m/s ja auf die GGL bezogen .. Aber in der GGL gilt ja  F_r = F_g sein und die Geschwindigkeit null (dachte ich immer)

Kommentar von Hauptschule11 ,

Na D habe ich zuerst berechnet. Das gewinnt man aus den Koeffizienten der ungelösten Differentialgleichung. Das ist das mit der Wurzel. Mehr braucht man nicht wenn man die Masse und die Winkelgeschwindigkeit hat.

Das "klein" t, nicht T habe ich folgendermaßen berechnet:

Ich habe eine Auslenkung gesucht, bei der die Geschwindigkeit maximal ist.

Also habe ich die Wegfunktion differenziert. Dann hat man ja v(t)!

Und aus der Kurvendiskussion weiß man dass man Maxima von Funktionen findet, indem man die Ableitung einer Funktion = 0 setzt.

Deshalb habe ich v(t) nochmal abgeleitet, null gesetzt und nach t umgestellt. Die Lösung ist dann ein t, bei dem v = maximal ist.

Das ist in jedem Falle der Nulldurchgang, denn dort ist die Energie gerade vollständig kinetischer Natur.

Kommentar von roromoloko ,

Die Frage ist doch wie hoch die Geschwindigkeit bei der größten Auslenkung ist und nicht wie groß die größte Geschwindigkeit ist?

Kommentar von Hauptschule11 ,

Mit Cosinus und Sinus hat das doch nix zutun. Du kannst da quasi nehmen was du willst. Das hängt doch mit den Anfangsbedingungen zusammen.

An der Stelle wo v(t) = vmax ist, ist die Summe aller Kräfte sogar null!

Natürlich geht demnach auch t = 0. Das hätte nur bei der Suche nach dem Extrempunkt Probleme bereitet. Es handelt sich ja um eine Sinusschwingung.

Der cos von 0 ist demnach ja auch 1. Aber 0,785 Sekunden ist eben auch eine Lösung. n * 0,785 für ganzzahlige Vielfache n liefern dann ebenfalls vmax.

Kommentar von Hauptschule11 ,

Ah ok entschuldige das habe ich falsch gelesen. Die Antwort lautet: 0m/s.

Kommentar von roromoloko ,

und was ist jetzt mit den 0,48

Kommentar von Hauptschule11 ,

Ich zitiere dich mal:

Berechne die Federkonstante D der Feder.
b)Wie groß ist die Geschwindigkeit v beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und bei der größten Auslenkung?

b) Bei der GGW ist v = -0,48.... wir haben irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht. So zumindest, steht es in der Lösung.

Deine Wegfunktion ist eine Sinusfunktion. Die größte Auslenkung ist damit bei pi und allen n * pi  mit n  = ganzzahlig vielfach.

Die GGW ist bei w * t = 0  und allen Vielfachen von 0,785 Sekunden. Immer an der GGW, ist v = vmax.

Der cos beschreibt ja auch nicht die Auslenkung, sondern die Gleichung für die Geschwindigkeit, da ist dein Denkfehler.

Kommentar von roromoloko ,

du hast doch geschrieben w*t =0 wäre sinnlos und hast dann pi eingesetzt ?

Kommentar von Hauptschule11 ,

Nee das kannste streichen! Ich hatte da einen Denkfehler! Man kommt natürlich auch damit auf eine Lösung. w * t = 0 logischerweise wenn t = 0 ist. Das gilt ja für alle w. Sorry, da habe ich gepennt. Gut aufgepasst!

Kommentar von roromoloko ,

Noch mal zum Verständnis .. Du hast ja die zweite Ableitung gleich null gesetzt, um den Extrempunkt herauszufinden, also wo v maximal ist und als bedingung gesetzt w*t=0 da ja dann die zweite Ableitung null ist.. Damit ist anscheinend t=0 und wie kommt man jetzt auf die 0,785 ?

Kommentar von roromoloko ,

Wieso sollte außerdem die Auslenkung dort maximal sein, wo die Kräfte gleich null sind.. ?

Kommentar von Hauptschule11 ,

Genau.

Die anderen t meinste?

Wissen wo die Funktion ihre weiteren Nullstellen hat:

pi, 2pi, 3pi, 4pi.... n * pi

Kommentar von Hauptschule11 ,

Nein, dort wo die Summe aller Kräfte = 0 ist ist die GGW. Und in der GGW ist v = vmax.

Kommentar von roromoloko ,

ach ja gut das habe ich jetzt verstanden, aber die 0,785 .. Woher kommen die :D

Kommentar von roromoloko ,

Also woher kommt einzig allein die Zahl 0,785?

Kommentar von Hauptschule11 ,

Na die Formel steht doch unten: t = pi / w.     weitere t sind dann 2pi / w     3pi / w usw.

Logischerweise sind das auch pi / 4.      Dann halt 2pi / 4 = pi / 2....    

Kommentar von roromoloko ,

ja aber wie du darauf gekommen bist, bleibt mir ein rätsel

Kommentar von roromoloko ,

w = 2pi/t

Also die zwei ist ja irgendwie weg

Kommentar von Hauptschule11 ,

Na das sind die Nullstellen der Maximumsfunktion. Eine Sinusfunktion ist eben an bestimmten Stellen null. An 0, an pi, an 2pi an 3pi usw. usf.

Da ja aber noch MAL 4 im Argument der Funktion steht, muss ich die Werte alle durch 4 teilen.

Kommentar von roromoloko ,

Aber sie haben doch die Gleichung

t = pi/ omega unter der Bedingung aufgestellt, dass t* omega = pi ist

Und dann meinten sie ja oben, dass t * omega auch null sein kann..

Kommentar von roromoloko ,

Aber da sind ja die Nullstellen.. hmm ich nimm es mal einfach so hin, auch wenn ich niemals drauf kommen würde

Kommentar von Hauptschule11 ,

Ja diese Bedingung ist aber nur EINE von VIELEN.

t1 = 0 / omega,    t2 = pi / omega,   t3 = 2pi / omega,  t4 = 3pi / omega usw.

Kommentar von roromoloko ,

Ok danke für die Geduld! :)

Kommentar von Hauptschule11 ,

Bitte keine Ursache!

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 22

Eines vorab: niemals zu früh irgendwelche Zahlen einsetzen und mit den Zahlen weiterrechnen. Das ist unprofessionell.

Außerdem fällt mir auf, dass du ständig y(t) verwendest, obwohl die Amplitude als x₀ bezeichnet wird. Das kann nur Verwirrung stiften, denn zu einer Amplitude mit der Bezeichnung x₀ passt als Bezeichnung für die Auslenkung sehr viel besser x(t).

Du hast, wenn ich das richtig sehe, die Masse m=3×10¯¹kg des Oszillators und die Periodendauer T=2s (ich nehme an, dass ist gemeint). Daraus sollst Du die Federkonstante D ausrechnen.

Aus der Herleitung dieser Schwingungsgleichung

(1) x(t) = x₀·cos(ωt)

aus der Differentialgleichung

(2) d²x(t)/dt² = –(D/m)x

lässt sich leicht

(3) D/m = ω² = 4π²/Τ²
⇔ D = m·4π²/T²

herleiten. Jetzt erst solltest Du Zahlen einsetzen:

D = 3×10¯¹kg·π²/s² ≈ 2,94kg/s²,

Wobei 1kg/s²=1N/m ist und ich π² einfach mal mit 9,8 veranschlagt habe (wie ich darauf komme, werde ich in einem Kommentar gern zum Besten geben).

Dass v(0)=0 ist, hast Du richtig erkannt, aber dies ist nicht in der Gleichgewichtslage der Fall, wo die Geschwindigkeit maximal wird, sondern in jedem der beiden Umkehrpunkte. Dies ergibt sich übrigens aus dem Sinus bei dx/dt.

Um die maximale Geschwindigkeit auszurechnen, benötigst du natürlich unbedingt noch die maximale Auslenkung x₀ und den Energieerhaltungssatz.

Kommentar von roromoloko ,

Sorry, im Buch steht es immer mit y .. hab es mir so angwöhnt

Hab die Aufgabe kopiert und da ist wohl ein pi verschwunden.. T = pi / 2 --> Dann kommt 4,8 N/m raus :)

Kommentar von SlowPhil ,

Ach ja, und BITTE, wenn Du schon Zahlen einsetzt, dann nicht ohne Maßeinheit!

Es ist nicht »y_max = 0,06«, sondern, wenn schon, ist »y_max« respektive x₀ = 0,12m.

Ich habe auch mal gefragt, ob die Amplitude die gesamte Spanne zwischen den beiden Umkehrpunkten sei, habe mich aber dessen belehren lassen, dass sie nichts anderes ist als die maximale Auslenkung.

Entgegen einem Parlamentsbeschluss in einem US-Bundesstaat ist auch nicht π=4, sodass »ω=4« ebenfalls falsch ist, sowieso, weil ohne Maßeinheit.

Es ist ω =2π/T = 2π/(2s) =π/s, sprich »pi pro Sekunde«.

Bei der Ableitung eines Sinus kommt ein Cosinus raus.

Kommentar von roromoloko ,

Allet klaro

Bei der Ableitung eines Sinus kommt ein Cosinus raus.

Habe ich das nachgefragt? :D

Kommentar von SlowPhil ,

Nein, Du hast es nicht nachgefragt, aber Du hattest geschrieben:

Soo also ich habe so begonnen:

y(t) = y_max * sin( omega* t)

omega = 4

y_max = 0,06

y(t) abgeleitet:

v(t) = 0,24 * sin (4t)

Wenn schon y(t) ~ sin(ωt) ist (was bedeutet, dass Du den Zeitnullpunkt auf den Durchgang durch die Gleichgewichtslage legst), kann v(t) es nicht sein, sondern muss ~cos(ωt) sein.

Die 0,24 ist um einen Faktor 2 zu klein (die Amplitude ist die maximale Auslenkung, nicht das Doppelte davon, man muss also nicht mehr durch 2 teilen), und die Maßeinheit m/s fehlt.

Kommentar von SlowPhil ,

O. K., wenn T =½π s sind, ist tatsächlich ω = 4/s. Aber eben 4/s, nicht einfach 4! Dann ist auch D = 0,48N/m korrekt. für die Berechnung der Federkonstante brauchst du die Amplitude allerdings nicht.

Kommentar von roromoloko ,

Ja ok, ich habs doch schon verstanden..

Muss ja jetzt nur die Nullstellen der zweiten Ableitung suchen ( so wie es Hauptschule gemacht hat)

Kommentar von roromoloko ,

Ach sorry Einheiten vergessen Hauptschule11 meine ich natürlich :)

Kommentar von SlowPhil ,

Mach's nicht komplizierter als es ist! Es ist eine harmonische Schwingung, da liegen die Nullstellen der 2. Ableitung genau da, wo die der ursprünglichen Funktion liegen.

Macht auch Sinn, denn x(t)=0 bedeutet Gleichgewichtslage, und da ist dann auch

F_x = m·d²x(t)/dt² = 0,

wobei das Dein y(t) ist.

Kommentar von roromoloko ,

Danke für den Ratschlag, ich bearbeite die Aufgabe morgen nochmal Schritt für Schritt, hab jetzt keine Kraft mehr

Antwort
von Shitter, 53

Dein Ansatz ist schonmal gut (zur Geschwindigkeit)
s(t) abgeleitet gibt v(t). Jetzt musst du dir aber überlegen wann 1. deine Gleichgewichtslage(GGL) und 2. deine größte Auslenkung erreicht wird.

1. Wenn du dir eine Schwingung vorstellst sieht das ja so aus: 1. oben 2. GGL 3.unten 4.GGL und dann wieder die 1 usw...
Die Periodendauer T geht also von Schritt 1 bis Schritt 4. Die GGL wird also bei T/4 erreicht (Bei Schritt1 ist T=0)

2.Du nimmst ja die ruhende Feder und lenkst sie aus -> die Auslenkung ist am Anfang nicht=0 sondern maximal (x0). Also ist dein y(t) = y_max * COS( omega* t). Wenn du dann ableitest kriegst du einen Sinus. Sin(0) =0 (siehe Lsg)

zur c) wenn du a(t)=-x0*w²*cos(wt) hast dann und das null setzt musst du dir nur überlegen wann der Kosinus null wird

Hoffe das hilft dir weiter
Wenn noch was ist frag ruhig!

lg 

PS: Hörst du immer Naruto Fighting Soundtracks beim lernen? :D #deinTab :D

Kommentar von roromoloko ,

Also ist die maximale Auslenkung zum Zeitpunkt t=0 und bei der Gleichgewichtslage sind wir bei pi/2 ????

Ja muss sein, sonst kann ich mich nicht motivieren :D Schaust du auch Animes?

Kommentar von Shitter ,

Genau!
Du kannst dir den Kosinus ja vorstellen. Bei x=0 ist er maximal. Bei pi/2 ist er null (GGL)

Animes ftw

Kommentar von roromoloko ,

Wenn ich aber die max. Auslenkung bei t=0 habe, dann habe ich ja für v(t) auch null raus, da ja der sinus von 0 eben 0 ist :/

Kommentar von Shitter ,

Und das ergibt auch Sinn :D
Du hältst deine Feder ja erstmal bei der max Auslenkung fest.
Ausserdem ist das der Umkehrpunkt. die Masse an deiner Feder wechselt dort die Richtung. Muss also v=0 sein

Kommentar von roromoloko ,

Geiloo :D

Animes sind einfach hammer.. Will nach der Prüfung sooo vieles neu schauen (naruto, bleach, fairy tail ...etc)

Kommentar von roromoloko ,

Achhh jaaaa hahahha stimmt :D

Kommentar von roromoloko ,

In der Lösung steht da was von 0,48 m/s ... O.O

Kommentar von roromoloko ,

Da haben die auch für y_max 0,12m eingesetzt, also die Amplitude, aber die Auslenkung müsst ja die Hälfte sein, oder? Also ich verstehe echt nicht was die gemacht haben

Kommentar von Shitter ,

Nene :D
Die Amplitude ist die Auslenkung von null bis zum max. Also hier bis 0.12m

Kommentar von roromoloko ,

Ach ok haha ..

Und weißt du was es mit den T/4 auf sich hat?

Kommentar von Shitter ,

Das ist eine Viertel Periode
Ein Viertel Umfang vom Kreis ist 2*Pi/4=Pi/2. Hier kann man sich den Kosinus wieder anschauen :D
cos(Pi/2)=0 wie in der GGL y(T/4)=0

Kommentar von roromoloko ,

Hm achso .. also hängt die Gleichgewichtslage von der Auslenkung ab? Ich dachte immer von Geschwindigkeit, also genau da wo die Geschwindigkeit null ist..

Kommentar von Shitter ,

Wo die Kraft null ist :D

Kommentar von roromoloko ,

Also irgendwie muss doch v=0 bei der Gleichgewichtslage sein und v=0,48 bei der größten Auslenkung.. Aber mit dem Kosinus haben wir die größte Auslenkung bei T=0 (--> v=0) und die größte Auslenkung bei T/4 (--> v= 0,48) .. Das ergibt doch keinen Sinn

Kommentar von Hauptschule11 ,

Ich zitiere dich mal:

Berechne die Federkonstante D der Feder.
b)Wie groß ist die Geschwindigkeit v beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und bei der größten Auslenkung?

b) Bei der GGW ist v = -0,48.... wir haben irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht. So zumindest, steht es in der Lösung.

Deine Wegfunktion ist eine Sinusfunktion. Die größte Auslenkung ist damit bei pi und allen n * pi  mit n  = ganzzahlig vielfach.

Die GGW ist bei w * t = 0  und allen Vielfachen von 0,785 Sekunden. Immer an der GGW, ist v = vmax.

Der cos beschreibt ja auch nicht die Auslenkung, sondern die Gleichung für die Geschwindigkeit, da ist dein Denkfehler.

Kommentar von SlowPhil ,

Es kommt einfach nur darauf an, wo wir den Zeitnullpunkt ansetzen.

Tun wir dies bei einem Nulldurchgang von »unten« (x < 0) nach »oben« (x > 0), haben wir für die Auslenkung eine Sinusfunktion, und dann ist die Geschwindigkeit zwangsläufig ein Cosinus und die Beschleunigung ein negativer Sinus.

Tun wir dies jedoch bei x=x₀, dann haben wir für x(t) einen Cosinus, was dx/dt zwangsläufig zum negativen Sinus und d²x/dt² zum negativen Cosinus macht.

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