Arithmetisch geometrisches Mittel?
Hallöle,
ich hab nur eine kurze Frage:
Ist es möglich, dass das AGM zweier Zahlen (a,b ;a=/=b) eine natürliche Zahl ist?
Ich hab bisher keine natürliche Zahl als Ergebnis eines AGM zweier Zahlen gesehen, aber ich weiß auch nicht, ob das überhaupt möglich ist oder ob ich einfach nur noch keine gefunden habe. Der Zahlenraum des Inputs ist mir dabei egal.
Aber vielleicht hat ja jemand davon Ahnung oder kennt gar einen Beweis für die (Un-)Möglichkeit. c:
(Die mögliche Ausweitung des AGM über den reellen Zahlenraum hinaus, überlasse ich denen die Ahnung haben)
Ist es möglich, dass das AGM zweier Zahlen
Dürfen es irrationale Zahlen sein?
Hmm, das AGM ist strikt nur für positive reelle Zahlen definiert, ich habe leider zu wenig Ahnung, um sagen zu können, ob andere Bereiche mit eingeschlossen werden können.
Ich meinte positive irrationale Zahlen.
dann joa
2 Antworten
Ich war jetzt schnell auf Wikipedia, also Angaben ohne Gewähr.
- agM(a,b)=y
- agM(ta,tb)=ty
Wir setzen fest:
Seien das Prdoukt ty ist eine natürliche Zahl und a und b zwei ungleiche positive reelle Zahlen.
Wenn also agM(a,b)=y gilt, gibt es eine Zahl reelle Zahl t, für die gilt, ty ist eine natürlich Zahl.
Z.B. einfach t=1/y <=> ty=1, also t=1/agM(a,b), und Eins ist eine natürliche Zahl.
Da agM(ta,tb)=ty gilt, können wir einfach t=1/y einsetzen und erhalten
agm(a/y,b/y)=1
und wir haben gezeigt, dass es mindestens zwei positive reelle Zahlen, nämlich a/y und b/y, gibt, deren agM eine natürliche Zahl, nämlich Eins, ist, mit y=agM(a,b).
Bitteschön :)
Sei M(a,b) das Aritetische Geometrische Mittel von a und b. Sei t eine positive reelle Zahl.
Dann gilt: M(ta,tb)=t*M(a,b)
Das folgt direkt daraus, dass man beim Arithmetischen und beim Geometrischen mittel den Faktor rausziehen kann.
Wenn du also t=1/M(a,b) setzt, dann ist M(ta,tb) = k, für jede natürliche Zahl k.
Dann ist M(ta,tb) = t/k, also wenn t/k eine natürliche Zahl ist, existiert ein solches AGM, aber dann ist für mich die Frage, ob t/k eine natürliche Zahl sein kann, was nur der Fall wäre, wenn t natürlich ist, hab ich das so richtig verstanden?