Frage von RobStevenson, 67

Archimedes und das Gewicht der Krone?

Zur Zeit lese ich Wissenschafts Buch. Ich versuche mir die Volumenrechnung des Archimedes vorzustellen. An alle die die Geschichte Archimedes kennen (mit der Krone) hier meine Frage: In dem Buch steht ..... Da Silber eine geringere Dichte hat als Gold, ist eine Silberkrone größer als eine gleich schwere Goldkrone und muss mehr Wasser verdrängen.

Stimmt das? Kann Silber/Gold gleich schwer sein wie Gold aber trotzdem größer sein?

Noch etwas bitte: Was ist Volumen und was Dichte? Wenn es geht erklärt es mir doch bitte ohne mathematische Fachausdrücke - ich kenne mich leider zu wenig aus.

Vielen Dank im vorraus

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 43

Hallo,

das Problem bei der Krone war doch, daß man ihr Volumen nicht einfach messen konnte und mit einer Krone aus Silber gleichen Volumens vergleichen konnte. (Natürlich hätte man eine Kopie der Krone aus massivem Gold anfertigen können und prüfen, ob die neue Krone, die garantiert aus Gold ist, schwerer ist als die, von der behauptet wird, sie sei aus massivem Gold. Das wäre aber sehr teuer und aufwendig gewesen.

Archimedes hatte sich folgendes überlegt: Wenn die Krone wirklich aus massivem Gold ist, dann brauche ich sie nur auszuwiegen und mir Gold zu besorgen, das genausoviel wiegt, wobei die Form egal ist. Wenn die Krone aus reinem Gold ist, dann ist ihr Volumen genauso groß wie das Gold, das ich mir zu Vergleichszwecken besorgt/ geliehen habe. Da ich die Volumina nicht durch eine normale Messung vergleichen kann, tauche ich beide unter Wasser und sehe, wieviel Wasser jeweils verdrängt wird. Das verdrängte Wasser nimmt genausoviel Volumen ein wie der untergetauchte Gegenstand.

Die einzige Voraussetzung ist, daß beide - der Goldklumpen und die Goldkrone - keine Hohlräume besitzen. Verdrängt die Krone mehr Wasser als der Goldklumpen, ist ihre Dichte geringer als die von Gold, es handelt sich also um eine Fälschung. Die Dichte eines Stoffes gibt an, wieviel ein cm³ dieses Stoffes wiegt. Bei Wasser ist es ein Gramm, bei Gold wiegt ein cm³ mehr als 19 Gramm. Silber wiegt dagen pro cm³ nur 10,49 Gramm - es ist also deutlich leichter als Gold. Ein cm³ Eisen wiegt weniger als 8 Gramm. 

Ein Liter, also ein Würfel mit der Kantenlänge 10 cm Gold wiegt über 19 kg - ungefähr soviel wie ein Kasten Bier. Ein Kubikmeter Gold wiegt mehr als 19 Tonnen. 

Der Trick des Archimedes bestand also zum einen darin, zu erkennen, daß Gold eine andere Dichte hat als andere Metalle - es ist dichter und damit schwerer als Silber und Co., und daß man Volumina von Gegenständen, die sich nicht vermessen lassen, anhand der Menge des von ihnen verdrängten Wassers bestimmen kann.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von ProfFrink, 35

Also: Unter "Volumen" versteht man einfach einen Rauminhalt. Den misst man typischerweise in m^3 oder cm^3 oder auch in Liter. Kubikmeter oder Kubikcentimeter sind auch gebräuchliche Bezeichnungen.

Die Dichte ist bereits eine zusammengesetzte Grösse. Es das Verhältnis von Masse zu Volumen und wird auch so berechnet. Man teilt die gewogene Masse durch den Rauminhalt und hat dann eine Dichte berechnet. An extremen Beispielen wird es klar. 100g Zuckerwatte mag vielleich ein Volumen von 0,1 m^3 einnehmen. Die Zuckerwattedichte beträgt dann 0,000 001 g/cm^3.  Ein Kubikzentimeter Gold wiegt 19,3 Gramm. Ein Liter Goldschmelze wiegt somit 19,3 kg.  Die Golddichte beträgt dann 19,3 g/cm^3

Silber hat eine Dichte von 10,5g/cm^3 ist somit etwa halb so schwer.

Wenn Archimedes nun eine goldbeschichtete Silberkrone bekommen hat, die genau so schwer gewesen sein soll, dann muss sie ein grösseres Volumen gehabt haben.


Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 25

Volumen ist der Raum, den ein Körper einnimmt (ein Würfel hat z. B. das Volumen Länge mal Breite mal Höhe; ein Zylinder hat das Volumen Grundfläche mal Höhe; das Volumen der Krone wäre etwas komplizierter auszurechnen, ist aber auch nicht nötig)

Die Dichte gibt die Masse (also das Gewicht) je Volumen (z.B. m³) an.
Nun wiegt Gold bei gleichgroßem Volumen mehr als Silber (ca. 19,32 g/cm³ zu 10,49 g/cm³). Möchte nun ein "Gauner" eine goldgestrichene Silberkrone als Goldkrone imitieren, so fällt bei gleicher Größe (=gleichem Volumen) das geringere Gewicht auf; würde er die Krone gleich schwer machen, müßte er das Volumen vergrößern...

Ist das Volumen nicht direkt vergleichbar (wegen z. B. einer anderen Form), so tauchst Du einfach die beiden gleichschweren Teile ins Wasser; wird beidemale die gleiche Menge Wasser verdrängt, liegt die Vermutung sehr nahe, dass es sich bei gleichem Volumen und gleichem Gewicht um das gleiche Material handeln muss, sonst nicht.

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