Anwendungen des Ableitungsbegriffs?
Habe Schwierigkeiten bei diese Aufgabe. Hilfe wäre nett :))
2 Antworten
a)
In der Parabel sind Werte eingezeichnet wie du vielleicht schon gesehen hast, so ist die Distanz der beiden Schnittpunkte mit den x-Achsen 100m und die höhe der Parabel 50m.
Du gehst jetzt zum Scheitelpunkt und dann siehst du dass wenn du 50m vom Scheitelpunkt zur Seite gehst 50m und nochmal 50m runtergehst hast du jetzt zusätzlich zum Scheitelpunkt S(0I-10) auch noch den Punkt P(50I-60)
Die Grundgleichung für die Scheitelpunktform:
f(x) = a*(x-d)²+e
d= Bewegen des Graphen auf der x-Achse, hier in dem Fall wäre d=0, da sie nicht auf der x-Achse verschoben wurde. Bei Auflösung der Klammer würde also folgendes rauskommen:
f(x) = a*(x²+2x*0+0)+e (alles was mit 0 multipliziert wird ist = 0)
es fällt also quasi alles außer x² aus der Klammer weg
f(x) = a*x²+e
e = Verschiebung auf der y-Achse, du siehst ja das der Graph um 10 Einheiten nach unten verschoben wurde,
f(x) = a*x²-10
Jetzt nimmst du dir den anderen Punkt P(50I-60) und setzt diesen ebenfalls ein
-60 = a*(50)²-10
-60 = 2500a-10 I+10
-50 = 2500a I:2500
-0,02 = a
Also hast du als Funktionsgleichung
f(x) = -0,02x²-10
b) Du suchst jetzt die Punkte bei denen die Pfeiler den Parabelbogen treffen:
Dafür schaust du dir zuerst an in welchen Abständen die Pfeiler stehen, in dem Fall regelmäßig alle 12,5 Meter (Kannst du aus der Abbildung ableiten)
Die Pfeiler stehen also bei (0 I -10) (12,5 I f(12,5)) (25 I f(25)) (37,5 I f(37,5)) und (50 I -60)
Da du den Punkt des 1ten und 5ten Pfeilers schon kennst kannst du sagen, das der erste Pfeiler 10m und der 2te 60Meter lang ist .
Jetzt setzt du die anderen Punkte in deine zuvor erstellte Gleichung
z.B. f(12,5) = -0,02*(12,5)²-10
f(12,5) = -13,125 (Habe die Zwischenschritte jetzt mal weggelassen)
Pfeiler 2 ist also 13,125m lang
für Erklärung für c) und d) siehe Post von Rammstein53, war jetzt schon so weit, dass ich das nicht mehr löschen wollte.
Entschuldigung natürlich sind bei a) die 100m Entfernung nicht die Schnittpunkte sondern lediglich die Entfernung der Punkte, an der die Parabel am weitesten in der Abbildung geöffnet ist
Schiene = x-Achse, Mitte der Brücke = y-Achse
Für die Parabel f(x)=a*x^2 + b
muss gelten
(a) f(50) = -60
Erklärung :
50 = Abstand des rechten Pfeilers vom Nullpunkt
60 = Höhe des rechten Pfeilers (zeigt in negative y-Richtung)
Ausserdem muss gelten
(b) f(0) = - 10
Erklärung:
Weil der Scheitel der Parabel 50 m hoch ist, und der höchste Pfeiler 60 m hoch.
Aus den Gleichungen a,b kann man folgende Beziehungen herleiten:
b = - 10
a*50^2 - 10 = -60
Daraus folgt a = -1/50
Die Parabel lautet also f(x) = -x^2/50 - 10
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Die Pfeiler haben offensichtlich die x-Position x=0, x=12.5, x=25, x=37.5, x=50.
Diese x-Werte in die Parabel einsetzen. Die Pfeiler auf der linken Seite sind natürlich genau so lang.
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Die Strecke von x1=50 bis x2=B muss genau so lang sein, wie die Höhe des rechten Pfeilers, weil die Böschungsneigung 45 Grad beträgt.
Länge AB = 60 + 100 + 60 = 220 m
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Die Ableitung von f(x) lautet
f'(x) = -x/25
Die Tangente hat im Punkt x = 50 die Steigung -2.
Die Tangente bildet mit der x-Axchse einen Winkel von
arctan(-2) ~ 63.43 Grad
Bezogen auf die Böschung dann einen Winkel von
alpha = 180 - 45 - 63.43 ~ 71.57 Grad
Schöne Erklärung, doch bei c) und d) war ich raus (zu unwichtig um mich daran erinnern zu können), ich hab sehr ausführlich a) und b) dafür erklärt, falls du dir das mal anschauen willst, wie ich das gelernt habe.