Abschätzung mit Satz von Taylor?
2 Antworten
Wenn du den Satz von Taylor benutzten sollst, ist es doch sinnvoll, sich Mal das Taylorpolynom (an einem geeigneten Entwicklungsunkt und bis zu einem bestimmten Grad) von cos(x) zu betrachten oder?
Nutze dann den Satz um das Restglied abzuschätzen. (Tipp, es Recht zu zeigen, dass das Restglied auf [-pi,pi] nicht positiv ist)
Ihr habt doch sicher noch eine andere Möglichkeit, um das Restglied darzustellen, oder? Also mit einem Integral
Wie lautet denn der Satz von Taylor, den ihr in der Vorlesung hattet?
Da ist sicher beschrieben, wie man das Restglied erhält
Es sei 𝑛 ∈ N 0 und 𝑓 sei auf 𝐼 (𝑛 + 1)-mal differenzierbar. Es seien 𝑥, 𝑥0 ∈ 𝐼 und 𝑥 ̸= 𝑥0. Dann existiert ein 𝜉 ∈ (min{𝑥, 𝑥0}, max{𝑥, 𝑥0}) mit
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓 ′ (𝑥0) 1! (𝑥 − 𝑥0) + . . . + 𝑓 (𝑛) (𝑥0) 𝑛! (𝑥 − 𝑥0) 𝑛 + 𝑓 (𝑛+1)(𝜉) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥0) 𝑛+1 ,
also 𝑓(𝑥) = ∑︁𝑛 𝑘=0 𝑓 (𝑘) (𝑥0) 𝑘! (𝑥 − 𝑥0) 𝑘 + 𝑓 (𝑛+1)(𝜉) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥0) 𝑛+1
Dann ist
𝑓 (𝑛+1)(𝜉) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥0) 𝑛+1
Das Restglied bei den du zeigen musst, dass es kleiner oder gleich 0 ist
Leider hast du keine Frage gestellt.
Daher gebe ich dir mal einen Hinweis:
Schau dir mal die Taylorreihe für cos(x) an. Die sieht ungefähr wie folgt aus:
1- x^2/2! - x^4/4! + x^6/6! ....
Wie kann ich am besten zeigen, dass für- f(x):= -x^6 / 6! + x^8 /8! - x^10/10! + ... <= 0 auf [0,pi] ist?