Ableitung von ln((1+x)/(1-x))?

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3 Antworten

f(x)=ln(x) => f'(x)=1/x    (also Kehrwert der Klammer)
=> f(x)=ln((1+x)/(1-x)) => f'(x)=(1-x)/(1+x) * innere Ableitung
Innere Ableitung mit Quotientenregel, dann sollte das Richtige rauskommen.

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Hier muss die Kettenregel und die Quotientenregel angewendet werden.

Siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln",was du in jeden Buchladen privat bekommst z.Bsp. den "Kuchling"

y=f(x) = ln( z) mit z=(1+x) /(1-x) Quotientenregel (u/v)´= (u´*v - u *v´) / v^2

f´(x)=y´=dy/dx=dy/dz *dz/dx dies ist die kettenregel

y=ln(z) ergibt y´= 1/z siehe elementare Ableitungen im Mathe-Formelbuch

z=(1+x) / (1-x) mit u=1+x ergibt u´=1 und v=1-x ergibt v´= - 1 eingesetzt

(u/v)´=z´=dz/dx= 1 *(1-x) - (1+x) * - 1 / (1-x)^2= 2 / (1-x)^2

f´(x)=y´= 1/z * 2/ (1-x)^2= (1-x) / (1+x)   * 2 / (1-x)^2=2/ (1+x) *(1-x)

binomische Formel a^2 -b^2 =(a+b) *(a-b) angewendet

f´(x)= y´= 2/ (1 -x^2 )

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Kommentar von PMBDE
15.11.2015, 21:58

Danke.Das,was du da raus hast,ist fast so wie das,was geogebra raus hat.Geogebra hat noch ein minus vor dem bruch.

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Kommentar von stekum
16.11.2015, 01:05

f´(x) = 2 / (1 - x²) = - 2 / (x² - 1) ist richtig. Dann ist f´´(x) = 4x / (x² - 1)²

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f(x) = ln(x+1)/(x+1).
a = ln(x+1)  b = 1/(x+1)
Jetzt gilt ja für die Ableitung a´*b + a*b´ (Produktregel.)
a´ = 1/(x+1), denn die Ableitung des Natürlichen Logarithmus´ ist 1 durch das was im Logarithmus steht, mal die Ableitung des Ausdrucks im Logarthmus (welche hier 1 ist, weswegen ich sie nicht extra noch als Faktor dazuschreibe.)
b´ ist nichts anderes als (-1)/(x+1)², denn b = 1/(x+1) = (x+1)^(-1). Jetzt gilt hier auch wieder innere Ableitung, welche ja immer noch 1 ist, mal äußere Ableitung. Für die äußere Ableitung tun wir einfach so, als wenn die x+1 in der Klammer einfach nur ein gewöhnliches x wären, weswegen wir einfach sagen, dass die äußere Funktion K^(-1) ist. Das abgeleitet ist (-1)*K^(-2) = (-1)/K². Jetzt setzen wir für unser gedachtes K wieder unser x+1 ein, und erhalten (-1)/(x+1)² als äußere Ableitung.
b´ ist somit 1*(-1)/(x+1)² = (-1)/x².
Jetzt sagt ja unsere Produktregel von oben das f´(x) = a´*b + a*b´ ist.
Das ist f´(x) nichts anderes als 1/(x+1) * 1/(x+1) + ln(x+1)*(-1)/(x+1)² = 1/(x+1)² - ln(x+1)/(x+1)² = (1-ln(x+1))/(x+1)²

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