Ableitung nach der j-ten Variable von f(x)=x^TAx?

Hallo,

sei f(x)=x^TAx , A∈ℝ^(nxn). Ich möchte nun D_j f(x) bestimmen. Ich habe mir gedacht, dass man auf f(x)=(x^T)(Ax) die Produktregel anwenden kann. Das ist auch in der Musterlösung so, die da lautet:

Ich habe verstanden, warum die j-te Ableitung von x dann e_j ist. Aber das ganze Hin und Her mit dem Transponierten, was auch lustig von a_j^T auf x^T überspringt, komme ich nicht klar. Außerdem verstehe ich nicht, dass Ae_j=a_j^T ist - könnte da jemand vielleicht etwas Licht ins Dunkle bringen?

Answer 1

[poseidon42]

Hier die allgemeine Ableitung nach dem Vektor x:

f(x) = x^T * A * x

--> Df(x) = D(x^T * A * x) + D(x^T * A * x)

wobei hier die Produktregel angewandt wird. Beachte:

g(x) = y^T*x = x^T * y ---> Dg(x) = y^T mit Vektoren y und x.

Entsprechend folgt hier:

(i) D(x^T * A * x) = D(x^T * A^T * x) = x^T *A (y = x^T A^T)

(ii) D(x^T * A * x) = x^T * A (y = x^T * A)

Wir erhalten also insgesamt:

Df(x) = x^T*(A + A^T)

Alternativ bestimme durch Definition der linearen Approximation:

f(x+h) = f(x) + Df(x)*h + o(||h||^2)

Hier folgt:

f(x + h) = (x + h)^T * A * (x + h) = x^T*A*x + h^T*A*x + x^T*A*h + h^T*A*h

mit h^T*A*x = x^T*A^T*h folgt dann:

f(x + h) = f(x) + x^T*(A + A^T)*h + o(||h||^2)

--> Df(x) = x^T*(A + A^T)

Answer 2

[Piddle]

Licht in das Dunkel bekommst du z.B., wenn du mal im Fall n=2 die Funktion f konkret hinschreibst. Dann ergibt sich nämlich

$f\left(x_1,x_2\right)\ =\ a_{11}x_{1\ \ \ \ }^2+\ \left(a_{12}+a_{21}\right)x_1x_2\ +\ a_{22}x_2^2$ was man sehr leicht partiell ableiten kann.

So, und nun das Ganze mal mit n statt 2 und Summenzeichen statt +.

Hat man "bodenständig" erkannt, was da los ist, kann man auch nach einer eleganten Form suchen, wenn der sofortige Schritt dahin einem unheimlich ist.

Answer 3

[Banach]

Steh ich jetzt nicht komplett auf dem Schlauch, dann fehlt tatsächlich eine Voraussetzung für die Musterlösung. Tatsächlich gilt die Musterlösung nur, wenn A symmetrisch ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Derzeit im Mathematik-Studium.

Comments

[Banach]

Für x, e in lR ist:

<x + e, A(x + e)> 

= <x,Ax> + <x,Ae> + <e,Ax> + <e,Ae>

= <x,Ax> + <x,Ae> + <Ae,x> + <e,Ae>

Nun ist wegen

<e,Ae>/||e|| <= ||A||*||e|| -> 0 für e -> 0

also Df = (A^T + A)x

und nur wenn A auch symmetrisch ist, gilt dann auch:

Df = 2*Ax.

[Banach]

@Banach

*lR^n

Answer 4

[Gonti]

Dieses *herumspringen* der Transponierten ist eine einfache Eigenschaft:

https://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix#Eigenschaften

Damit müsstest du dir jetzt die einzelnen Rechenschritte leicht klar machen sollen.