A brilliant young mind karten Raetsel erklaeren?
Kann mir jemand die Loesung erklaeren? https://youtu.be/mYAahN1G8Y8
1 Antwort
Das Raetsel: Zwanzig Karten werden mit dem Bild nach oben nebeneinander gelegt. Nun darf man sich irgendeine Bildkarte (ausser die ganz rechts vermute ich) aussuchen und diese sowie die Karte rechts daneben umdrehen. Diesen Vorgang wiederholt man wieder und wieder. Gefragt ist nun ein Beweis dafuer, das man irgendwann keinen Zug mehr machen kann (weil alle Karten mit dem Kartenruecken nach oben liegen).
Ein Beispiel: Ich nenne eine Karte, die mit dem Bild nach oben liegt "B" und eine Karte, deren Ruecken nach oben zeigt "R". Ich illustriere es nun anhand von vier Karten, um weniger tippen zu muessen: Man startet bei BBBB. Nun sucht man sich z.B. die zweite Karte von links aus und landet bei BRRB. Nun kann ich mir z.B. die Karte ganz links aussuchen und lande bei RBRB usw. Die Frage ist also, ob man auf jeden Fall irgendwann bei RRRR rauskommt.
Nathans Ansatz: Nathan begruendet dies im Video prinzipiell so: Sucht man sich eine B-Karte aus, dann liegt rechts daneben entweder noch ein B oder aber ein R. Also gibt es die Faelle BB und BR. Im ersten Fall erhaelt man nach dem Umdrehen RR, d.h. die Anzahl der B-Karten verringert sich. Im zweiten Fall erhaelt man RB, d.h. die Anzahl der B-Karten bleibt gleich, aber dafuer rutscht ein B weiter nach rechts.
Dadurch, dass im zweiten Fall die Bs immer weiter nach rechts rutschen, kommt es irgendwann dazu, dass sich die Bs rechts ansammeln und nur noch der erste Fall eintreten kann, d.h. dass sich Bs "vernichten". Mit der Zeit werden die Bs also immer weniger und man landet gezwungenermassen bei RRRR. Hier die Abfolge, wenn man immer so waehlt, dass man noch moeglichst viele Schritte machen kann:
BBBB, BBRR, BRBR, BRRB, RBRB, RRBB, RRRR
Hier kannst Du gut beobachten, wie die Bs nach rechts rutschen und immer weniger werden. Das ist im Prinzip alles, aber man kann es noch etwas anders aufschreiben:
Das Binaersystem: Nathan verwendet "1" statt "B" und eine "0" statt "R". So entspricht jede Kartenabfolge einer Abfolge von Einsen und Nullen. In unserem kleinen Beispiel wuerde man also bei 1111 starten und bei 0000 ankommen. Solche Abfolgen von Einsen und Nullen kann man als Zahlen in Binaer-Darstellung interpretieren (kannst Du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem im Detail nachlesen, aber ich erlaeutere es Dir etwas):
Wir schreiben Zahlen normalerweise im 10er-System, d.h. die letzte Ziffer hat die Wertigkeit 1 (=10^0), die vorletzte zaehlt die 10er (=10^1), die vorvorletzte zaehlt die 100er (=10^2) usw. So steht "398" ja fuer 8*1 + 9*10 + 3*100.
Im Binaersystem arbeitet man mit der Basis 2 anstatt mit einer 10 (und dafuer auch nur mit den Ziffern 1 und 0). Die letzte Stelle zaehlt 1 (=1^0), die vorletzte 2 (=2^1), die vorvorletzte 4 (=2^2), die viertletzte 8 (=2^3) usw. Die Ziffernfolge "0101" im Binaersystem steht also in unserer normalen Schreibweise fuer 1*1 + 0*2 + 1*4 + 0*8 = 5.
Nathan beschreibt unsere Beobachtung von oben im Binaersystem: Wenn man in einer Ziffernfolge 11 durch 00 ersetzt, wird die Zahl kleiner (das war unser erster Fall oben, in dem sich die Bs "vernichten"). Wenn man die Ziffernfolge 10 durch 01 ersetzt, wird die Zahl auch kleiner, da die Stellen weiter rechts ja weniger zaehlen (das war unser zweiter Fall oben, in dem sich die Bs nach rechts schieben). In jedem Schritt wird die Zahl also kleiner, sodass man frueher oder spaeter bei Null rauskommen muss.
Danke fuer deine Praezise antwort! Bin ueber die Tage auf genau die selbe Loesung gekommen