Frage von problemdieliebe, 28

? Paul hat 1,60m draht zur Verfügung. Damit möchte er das Kantenmodell eines Quaders herstellen. Sein Modell soll 10cm hoch werden. Wie gross kann die Grundfläc

Bitte mit Vorgehensweise, danke! Muss für Mathe lernen aber verstehe diese Aufgabe einfach nicht!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 8

Hallo,

bei 10 cm Höhe fallen schon mal 4*10=40 cm an Draht weg, weil Du soviel für die vier senkrechten Streben benötigst.

Bleiben 120 cm für die beiden Grundflächen oben und unten. Da sie gleich groß sind, bleiben für eine Grundfläche 60 cm übrig.

Zwei gegenüberliegende Streben sind jeweils gleich lang, weil die Grundfläche eines Quaders ein Rechteck ist.

Also gilt: 2x+2y=60

Das kannst Du noch durch 2 teilen:

x+y=30

Die Fläche berechnet sich nach x*y. Sie soll wahrscheinlich maximal werden.

Aus der ersten Gleichung kannst Du entnehmen, daß y=30-x ist.

Also lautet die Gleichung für die Fläche: F=x*(30-x)=30x-x²

Du kannst aus der Flächenformel die Funktion f(x)=30x-x² machen.

Sie wird maximal, wenn f'(x)=0 wird:

30-2x=0

2x=30

x=15

Die zweite Ableitung f''(x)=-2, also negativ; es liegt ein Maximum bei f(15) vor.

Das bedeutet:

Die Grundfläche des Quaders muß bei 10 cm Höhe ein Quadrat
aus 15 cm*15 cm=225 cm² sein. (Wenn x=15 und y=30-x, dann ist y=15.)

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Nadelwald75 ,

Hallo Williy1729, das gilt, wenn die Grundfläche quadratisch ist. Für eine nicht quadratische Grundfläche gibt es dann weitere Möglichkeiten.

Kommentar von Willy1729 ,

Dann ist die Fläche aber nicht mehr maximal. Ich habe einfach mal angenommen, daß 'Wie groß kann die Grundfläc' bedeuten soll: Wie groß kann die Grundfläche höchstens werden?

Kommentar von Nadelwald75 ,

Ja!

Antwort
von Thorall, 4

Ein Quader hat 12 Kanten, davon sollen 4 Stück schon mal 10cm lang sein, damit der Quader 10cm hoch ist. Dann bleiben Dir noch 160-4x10 cm Draht also 120cm, da die Fläche oben und unten gleich sein müssen, musst Du das noch durch 2 teilen, das sind dann 60cm.

Bei gleichem Umfang hat ein Quadrat immer den größten Flächeninhalt. Bei einem Quadrat sind alle 4 Seiten gleich lang, deshalb nochmal die 60cm durch 4 teilen. Das sind dann 15. Jetzt weißt Du, dass die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge 15 ist. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist a^2 also 15^2 und das sind dann 225.

So groß kann die Grundfläche also maximal sein.

Expertenantwort
von Nadelwald75, Community-Experte für Schule, 7

Hallo problemdieliebe,

ein Quader ist kein Würfel. Er ist vergleichbar mit einem Schuhkarton, bei dem Höhe, Breite, Länge unterschiedlich sein können. Außerdem hat er 12 Kanten, von denen jeweils vier gleich lang sind.

Du kannst daher eine Gleichung aufstellen:

160 = 4a + 4b + 4*10

Du kürzt durch 4 und erhältst:

a + b + 10 = 40

oder aufgelöst

a + b = 30

Jetzt kannst du die anderen Seiten kombinieren. Wenn du ganze Zahlen nimmst, z.B.

1 + 29/ 2 + 28/ 3 + 27 usw.

Das gibt dann alles verschiedene Grundflächen, bei denen du die größte erhältst, wenn a und b gleich groß sind, du also 15 + 15 nimmst.

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