Abkürzung so richtig?

Das ist keine Abkürzung, sondern eine Verstümmelung, wie sie in der gesprochenen Sprache nicht selten ist.

Vielleicht willst du von einer Tonaufnahme transkribieren, was Leute in einem Interview genau gesagt haben. Dann ist das korrekt. Dann muss aber auch jedes Räuspern, jeder Versprecher etc. transkribiert werden, z.B.: "Ich hab' ... ähm ... ich sollte, ne, ich musste das tun." Auch in einer Erzählung/einem Roman kannst du die Dialoge exakt so schreiben, wie du möchtest, dass deine Charaktere sprechen, egal ob in falschem Deutsch, im Dialekt, stotternd oder Silben verschluckend.

Aber wenn du einen Brief oder eine E-Mail schreibst, solltest du (nicht nur in einem formalen Schreiben, sondern auch) in einem persönlichen Brief vollständige Sätze benutzen, also: „Hast du wenigstens eine Erinnerung (daran)?“ oder etwas lockerer: „Hast du wenigstens 'ne Erinnerung (daran)?“

Was du allerdings in einer SMS o.ä. an irgendwelche Kumpels schreibst, tja😉, da ist es ganz allein eure Sache, auf welchem sprachlichen Niveau ihr miteinander kommuniziert. Da geht selbstverständlich auch: "Hast wenigstens ne Erinnerung?"

Bin kein Muttersprachler, aber gelungen ist das nicht so ganz.

Falsch nicht unbedingt.

'ne würde ich schreiben, aber nicht vor Erinnerung.

Vielleicht "daran" am Ende.