Also zunächst mal fallen mir da klassischerweise Kaninchen ein, von denen ich dir aber abraten würde. Kaninchen in einem Käfig in einer Wohnung zu halten, halte ich für falsch. Sie sollten Gras und Erde unter ihren Pfoten und genug Platz zum Hüpfen haben, weshalb ich dir, wie gesagt, davon im Interesse der Tiere abraten würde.
Dann gäbe es die Option Meerschweinchen, die schon eher in einer Wohnung gehalten werden könnten. Hier würde ich aber wenn schon auch einen größeren Käfig als üblich wählen und wirklich regelmäßig frisches, abwechslungsreiches Futter geben. Zudem bräuchten sie natürlich auch ein paar Versteckmöglichkeiten und je nach Individuum ein paar Spielmöglichkeiten.
Kanarienvögel wären natürlich auch eine Möglichkeit, auch hier ist die Größe des Käfigs zu beachten und dass sie auch mal frei in der Wohnung fliegen können, ohne irgendwelchen Gefahren ausgesetzt zu sein.
Wie du schon angesprochen hast käme auch ein Frettchen in Frage, zudem du wahrscheinlich von den genannten Möglichkeit auch die tiefste Bindung aufbauen könntest. Schwierig könnte es natürlich in Sachen Sicherheit werden, weil sie natürlich sehr schnell, flink und wendig sind und aufgrund ihrer Größe auch so gut wie überall dran kommen.
Rennmäuse (sofern du nur Ratten ausschließt) gingen natürlich auch, eine wirkliche Bindung zu ihnen aufzubauen könnte allerdings sehr schwer werden und sie außerhalb des Käfigs zu halten erscheint mir ebenfalls schwer denkbar.
Was natürlich immer geht sind Fische, die soziale Bindung fehlt dort natürlich im Normalfall, allerdings hast du dort natürlich viel Auswahl und kannst auch, sofern du eine kreative Ader hast, diese im Aquarium ausleben.
Bartagamen zum Beispiel würden auch gehen, damit kenne ich mich aber jetzt zu wenig aus, um darüber etwas sagen zu können.
Zudem wären neben der Aquaristik auch allgemein die Terraristik eine Möglichkeit.