Hallo!
Der Unterschied liegt ganz einfach beim Träger der Einrichtung!
Bei evangelischen/katholischen Kigas ist der Träger eine Kirchengemeinde oder ein Zusammenschluss aus Kirchengemeinden o.ä.
Bei kommunalen Kigas ist der Träger die Kommune/Stadt/der Landkreis, wie auch immer es im Einzelfall heißt.
Es gibt auch noch andere Formen: Private Einrichtungen, Elternvereine (dann sind die Eltern bzw. der von ihnen gewählte Vortsand der Träger) oder auch "Institutionen" wie das Deutsche Rote Kreuz, die AWO, Stiftungen etc. als Träger.
Zu deinem 2. Punkt:
In der Regel ist der Kiga auch für Kinder anderer Konfessionen/Religionen oder Kinder "ohne Religion" offen. Oft gibt es aber z.B. bei den Kriterien, die über die Reihenfolge der Aufnahme von Kindern in die Einrichtung entscheiden, auch den Punkt, ob die Familie Mitglied in der jeweiligen Kirchengemeinde ist.