Bei einer Funktionssxharr wird der Parameter a als normale Zahl behandelt.
a)
fax= ax+e^-x
f‘ax= a-e^-x
f‘‘x= e^-x
b)
Normal nullstellen berechnen
0= a-e^x
e^-x = a
-x = ln(a)
x = -ln(a)
Für x in die Gleichung einsetzen um den Punkt heraus zu finden.
fa(- ln(a)) = a - a·ln(a)
fa''(- ln(a)) = a > 0 --> Tiefpunkt
Wendestellen fa''(x) = 0
e-x = 0
Die e-Funktion wird nie Null, daher gibt es keine Wendepunkte.
Graph:
Schnittpunkt bei stelle 1 nach dem Graph
xs = 0
fa(xs) = fa(0) = a*0+e^-0 = 1
um die Steigung zu finden brauchen wir die erste Ableitung.
fa'(xs) = fa'(0) = a-e^-0 = a - 1
Formel für Tangente oder einfach Steigungsgerade ist tx= mx+b
m=f‘ => die Steigung ist die erste Ableitung
b= Schnittpunkt mit der y Achse weil wenn man null einsetzt für x das b übrig bleibt.
also formal ausgedrückt:
t(x) = fa'(xs)·(x) + fa(xs) = (a - 1)·(x -) + 1 =
(a - 1)·x + 1
Bestimme eine Stammfunktion Fa von fa.
fa(x) = a·x + e-x
Fa(x) = 1/2·a·x2 - e-x
f) Gesucht ist der Inhalt der Fläche Aa , die im 1. Quadranten zwischen dem Graphen fa und dem Graphen ga(x) = a + e-x und der Y-Achse liegt. Für welchen Wert von a hat diese Fläche den Inhalt 1?
Wir Bilde. Die Differenzenfunktion:
da(x) = ga(x) - fa(x) = (a + e-x) - (a·x + e-x) =
a - a·x
wor bilden die Stammfunktion:
Da(x) = a·x - a/2·x2
Suchen den Schnittpunkt:
da(x) = 0
a - a·x = 0
x = 1
Setzen ein:
∫ (0 bis 1) da(x) dx = Da(1) - Da(0) = a/2 = 1
a = 2