Zwei Verständnisfragen zu Grundrechenregeln (Distributivgesetz, Bruchrechnung)?

Hey, ich habe da Mal zwei Fragen zu den Rechenregeln beim Distributivgesetz und bei Brüchen.

1. Distributivgesetz - In meinem Kurs steht, dass das Distributivgesetz a (b + c) nur angewendet werden darf, wenn sich ein Strich-Rechenzeichen in der Klammer befindet. Wenn ich es richtig verstanden habe, darf ich aber bei längeren Termen mit Punkt- und Strichrechnung dennoch das Distributivgesetz anwenden? Beispiel: a (b * c + d) = a * b * c + a * d). Ist das so korrekt und falls ja, auf welche Rechenregel ist das dann zurückzuführen?
2. Zum Thema Bruch und Faktoren wegkürzen. Wenn ich (a * b) / (a * c) habe, kann ich um den Faktor a im Zähler und im Nenner kürzen. Wie ist es hier nun bei gemischten Rechenzeichen? Wenn ich das richtig verstanden habe, darf ich hier grundsätzlich nur kürzen, wenn die einzelnen Produkte / Faktoren geklammert sind? Sprich (a * b) / (a * c + d) ≠ b / (c + d), aber sobald (a * b) / (a * (c + d)) = b / (c + d). Stimmt das so? :D

Wenn ihr Lust und Zeit habt, gerne nochmal mit einer für Mathe-Noobs nachvollziehbaren Erklärung. :)

Answer 1

[Kwalliteht]

Zu 1:

a (b * c + d) = a * b * c + a * d)

Wir setzen eine neue Variable e für b*c ein:

e=b*c

a(e+d)=a*e+a*d

Und jetzt lösen wir e wieder auf:

a(b*c+d)=a*b*c+a*d

Zu 2:

$\frac{ab}{ac}=\frac{a}{a}\cdot\frac{b}{c}$

Das a können wir wegkürzen, es bleibt b/c übrig.

$\frac{ab}{ac+d}\ne\frac{b}{c+d}$

Korrekt, denn wenn Du den Nenner durch a teilst, kommt das heraus:

$\frac{b}{c+\frac{d}{a}}$

$\frac{ab}{a\left(c+d\right)}=\frac{b}{c+d}$

Korrekt. Das lässt sich auch wieder durch eine Substitution beweisen.

e=c+d

ab/ae=b/e

jetzt nehmen wir das e wieder raus:

ab/a(c+d)=b/(c+d)