Woher weiß ich, welchen Grad die Funktion hat?
Hallo, folgendes Beispiel:
Woher weiß ich, welchen Grad die Funktion f(x) mindestens hat? Wie kann ich das herausfinden?
4 Antworten
Also wenn du nur die Nullstellen betrachten würdest, bekommst du raus, dass die Funktion mindestens den Grad 3 haben muss, da du eine einfache Nullstelle hast (an der 0) und eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (an der 4)
Du kannst es aber höher abschätzen:
Du hast 2 Extremstellen und ein Sattelpunkt.
Bei den Extremstellen hat die Ableitung eine Nullstelle mit ungerader vielfachheit (also mindestens 1). Bei dem Sattelpunkt hat die Ableitung eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (da ein Sattelpunkt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat), also mindestens 2.
Die 1. Ableitung hat somit mindestens 4 Nullstellen, und da der Grad der Ableitung um 1 kleiner ist als der der Funktion, hat die Funktion mindestens den Grad 5.
- Danke sehr. Also wäre es dann falsch nur anhand der Extrempunkte von f(x) zu sagen, dass aufgrund der beidem Extrempunkte bei x=0 und bei x=4 der Graph mindestens 3 haben muss? Weil wie ales geschrieben hat Grad einer Funktion minus 1 = maximale Anzahl der Extremstellen.
Mindestens 3 ist ist ja theoretisch auch korrekt, aber man kann halt eine höhere Schranke setzten, es ist somit nicht die "beste Abschätzung".
Die Antwort von Alex ist trotzdem korrekt, da die Ableitung von einem Polynom mit Grad n maximal n-1 Nullstellen haben kann, das Polynom hat also maximal n-1 extremstellen. Wenn also eine Funktion 2 Extremstellen hat, muss sie mindestens den Grad 3 haben, da eben eine Funktion mit dem Grad 2 oder 3 diese Eigenschaft nie erfüllen kann.
Danke sehr, der Sattelpunkt zählt ja nicht als Extrempunkt, oder? Dann wäre hier in dem Beispiel mind. 3 wegen den 2 Extremstellen
Ist es dann immer so, dass bei einem Sattelpuntk es genau 2 Nullstellen in der Ableitung sind?
Du siehst nur einen Ausschnitt
Betrachtet man nur diesen, ist festzustellen, dass der Grad ungrade und echt größer als 3 sein muss.
Die Funktion ist dritten Grades.
Nullstelle 1: Durchstößt die X-Achse, demnach ist die ersten Grades.
Nullstelle 2: Prallt parabelförmig von der X-Achse ab, demnach ist sie zweiten Grades.
Nun addierst du alles und erhältst 3.
Ant. Die Funktion ist dritten Grades.
Die Funktion kann nicht dritten Grades sein. Du übersiehst die doppelte Nullstelle der ersten Ableitung am Sattelpunkt.
Grad einer Funktion
- Grad einer Funktion = Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x.
- Grad einer Funktion minus 1 = maximale Anzahl der Extremstellen.
- Grad einer Funktion minus 2 = maximale Anzahl der Wendestellen.
https://www.maths2mind.com/schluesselwoerter/grad-einer-funktion
x^2+1 hat keine Reelle Nullstellen, hat aber trotzdem den Grad 2. Der Grad der Funktion ist nicht unbedingt gleich der Anzahl der Nullstellen. (Vor allem hast du nicht beachtet, dass wir eine doppelte nullstelle (bzw nullstelle mit gerader Vielfachheit) bei x=4 haben)
Danke. In der Aufgabe sollte ich sagen, welchem Grad die Funktion mindestens hat. Also könnte ich basierend auf die 2 Extremstellen sagen, mindestens Grad 3? Und wie kommst du auf 3 Wendepunkte? Sehe nur 2, der eine zwischen x=0 und x=2 und der andere zwischen x=2 und x=4
Bei den Wendestellen kannst du immer überlegen du hast ein Lenkrad in der Hand,
Wann musst du in die andere Richtung lenken? So Kannst du es dir vorstellen
Der Wendepunkt ist die Stelle an dem das Lenkrad gerade steht (also da wo der Übergang von links nach rechts oder umgekehrt ist). Dieser Punkt oder diese Stelle gibt es auch in der Mathematik.
https://www.gut-erklaert.de/mathematik/wendepunkt-wendestelle-berechnen.html
Zwischen 0 und 1 ist eine, dann bei x=2 und zwischen 3 und 4 (die Krümmung wechselt 3mal).
Die Extremstellen geben wie die Nullstellen nur einen sehr groben Anhaltspunkt bzgl. des Grades. Extremstellen sind da (möglich), wo die Steigung Null ist, d. h. bei der rein rechnerischen Prüfung auf Extrema würdest Du hier mit f'(x)=0 bereits 3 Lösungen bekommen (bei 0, 2 und 4), d. h. danach müsste der Grad mindestens 4 sein - kann aber nicht, da der Graph im Unendlichen in verschiedene Richtungen zu gehen scheint. D. h. es muss min. Grad 5 sein (gemäß Wendestellen). Dreht der Graph links oder rechts außerhalb des Sichtbereichs nochmal, wäre der Grad min. 6...
Ja, der Terrassenpunkt (auch Sattelpunkt genannt) ist ein besonderer Wendepunkt, da dort zugleich die Steigung Null ist, d. h. f'(x)=f''(x)=0 und f'''(x)≠0 (ist die 3. Ableitung auch Null, muss eine der folgenden ungeraden Ableitungen ungleich Null sein, ansonsten ist dort ein Extrempunkt [einfachstes Beispiel: f(x)=x⁴])
(An einer Wendestelle dreht die Krümmung - hier am Terrassenpunkt bei x=2 von links- nach rechtsgekrümmt)