Wieso lässt sich kompakte Konvergenz nicht durch eine Norm beschreiben?
Wenn ich z.B eine Funktionenfolge (f_n) habe definiert auf der Kreisscheibe B_r(0), die dann z.B gegen 0 konvergiert, dann soll es keine Norm p auf C(B_r(0)) geben, sodass (p(f_n)) nach 0 konvergiert.
Das ist einfach ein Nachsatz aus einem Funktionentheoriebuch von Klaus Fritzsche. Da wurde nichts bewiesen. So wie ich das kenn, kann man gleichmäßige Konvergenz durch die sup-Norm beschreiben. Bei kompakter Konvergenz verhält es sich aber anders. Als Beispiel möchte ich einfachheitshalber eine stetige Funktionenfolge (f_n) auf irgendeiner Kreisscheibe betrachten, die gegen 0 kompakt konvergiert, aber wofür es keine Norm auf C(B_r(0)) gibt, die gegen 0 konvergiert. Der Hintergrund ist der, das genau |f|_K im Bild eine Semi-Norm darstellt, also die Semi-Sup-Norm und deren Konvergenz ist tatsächlich äquivalent zur kompakten Konvergenz.
Kannst du das noch etwas ausführen, oder hast du eine Quellenangabe oder ein Bild zum hochladen?
Vielen Dank erstmal für deine Antwort :) Sorry für die Unklarheit.
1 Antwort
Wenn ich z.B eine Funktionenfolge (f_n) habe definiert auf der Kreisscheibe B_r(0), die dann z.B gegen 0 konvergiert, dann soll es keine Norm p auf C(B_r(0)) geben, sodass (p(f_n)) nach 0 konvergiert.
Meiner Meinung nach hast du den Sachverhalt etwas verdreht, es wird durchaus Funktionenfolgen geben, wo auch die Konvergenz bezüglich einer Norm gegeben wären (triviale Beispiele liegen auf der Hand), allerdings wird es nicht für jede Funktionenfolge möglich sein. Einfachstes Beispiel ist eine Potenzreihe im Konvergenzkreis, die innerhalb dessen kompakt konvergiert, zum Rand hin aber Probleme machen kann. Betrachte z.B. Summe über z^n, n>= 0.
Das stimmt. Ich habs aber eher so verstanden: Gibt es irgendeine Norm p auf C(B_r(0)), sodass gilt: Die Funktionenfolge (f_n) auf z.B B_r(0) konvergiert kompakt gegen 0 ist äquivalent dazu, dass (p(f_n)) konvergiert gegen 0. Bei gleichmäßiger Konvergenz haben wir ja die sup-Norm. Gibt es bei kompakter Konvergenz auch eine?