Wie zeige ich bei einer mehrdimensionale Funktion das es einen x=a ein globales Maximum ist?
Hallo. Ich habe eine Funktion von I in R^n nach R. Wenn man den Gradienten gleich Null setzt bekomme ich als einzige Lösung den Wert x=a raus. Somit kann ja x=a entwedet ein Sattelpunkt, lokales min/max sein. Meine Frage ist: Falls x=a ein lokales max. ist, ist es automatisch auch ein globales Maximum? Falls ja, wie kann ich dann zeigen das x=a ein lokales Maximum ist ohne die Hesse Matrix zu berechnen? Im 1 dimensionalen ist es ja einfach, man betrachtet x_1 < a < x_2 und falls:
f(x_1)<=f(a) und f(x_2)<=f(a) haben wir ein lokales maximum und auch globales maximum, da stetig (?). Gibt es ein ähnlichen Fall in R^n wo man werte im norm Kleiner betrachtet und einmal größer? Danke
1 Antwort
Falls x = a ein lokales Minimum einer hinreichend glatten Funktion f über I aus IR^n ist, ist es dann auch sofort ein globales Minimum?
--> Nein. Funktionen können mehrere lokale Minima aufweisen, von denen nicht einmal eines dem globalen Minimum entsprechen muss. Neben den lokalen Minima im Innern von I können Extrema nämlich auch auf dem Rand von I auftauchen, welche nicht durch die Standardkriterien für lokale Extrema detektiert werden können.
Bsp.:
f'(x) = (x - 1)*(x + 1)
f(x) = (x^3)/3 - x
auf dem Intervall I = [-5, 5]. Das lokale Minimum liegt offensichtlich bei x = 1, das globale Minimum jedoch bei x = -5 auf dem Rand, wie man durch Einsetzen bestätigt.
Was gilt es also zu tun?
1.) Bestimme alle lokalen Minima in I
2.) Bestimme Minima auf dem Rand von I
3.) Globales Minimum entspricht dem kleinsten aus 1.) und 2.).
Nun gibt es eine besondere Klasse von Funktionen, die einem das Leben ungemein vereinfacht. Für konvexe Funktionen gilt: Lokales Minimum = Globales Minimum
Angepasst folgt damit:
1.) Überprüfe ob f konvex ist
2.) Bestimme einfachen Extremalpunkt (Notwendige Beding: Gradient = 0)
Falls 2.) existiert --> Globales Minimum = Lokales Minimum = Extremalpunkt
Falls 2.) nicht innerhalb von I liegt, so liegt das Minimum auf dem Rand und man müsste nun das Minimum auf dem Rand finden. Hier wäre es in einen nächsten Schritt nützlich zu wissen, ob I eine konvexe Menge darstellt oder nicht.
Im allgemeinen Nein, selbst wenn er der einzige ist. Das Grenzverhalten ist stets mitzubetrachten. (Es sei denn, wir wissen mehr über die Funktion und das Gebiet ... )
Siehe zum Beispiel die 2.Antwort von:
In meiner Frage ist noch erwähnt das es keine weitere extremwerte gibt als x=a. Ist dann automatisch ein lokales min. ein globales min?