Wie wurde bei dieser Beispielaufgabe der Mittelwert bestimmt?
In der Statistik, vor allem in dessen Grundlagen, lernt man Basisbegriffe wie: statistische Erhebung, Strich- und Häufigkeitsliste und eben auch die Kennwerte kennen. Allerdings tut sich hier mir nun ein Problem auf, das mich reichlich verwirrt. Es geht um die Berechnung des Mittelwerts. Ich kann bei dieser Aufgabe leider nicht nachvollziehen, wie man hier auf den Mittelwert gekommen ist.
Also, was ich noch nachvollziehen kann ist, dass wir hier ja mehrere Schüler haben und deshalb auch die Summe der Produkte von Anzahl der Schüler mit der Anzahl der Fehler bilden müssen. Aber woher kommt hier die 30, durch die wir teilen? Ich dachte der Mittelwert ergibt sich aus der Anzahl der Werte? Müsste man hier also eigentlich nicht durch 13 teilen? Selbst wenn wir annehmen, dass man hier vielleicht Werte weggelassen haben könnte, müsste man dann nicht durch 19 teilen? (Wenn wir also die Anzahl der Fehler zwischen 6 und 8, 10 und 12 und 15 und 18 Fehlern dazu nehmen würden). In anderen Beispielen, in denen z.B. nur Namen oben stehen würden, teilt man exakt durch die Anzahl der Namen, die vorkommen.
Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen. Vielen Dank!
4 Antworten
Wenn dich verwirrt, was du durch wen teilen musst, kannst du dir die Frage stellen, welche Information du eigentlich aus dem Mittelwert gewinnen möchtest.
In dem obigen Beispiel würdest du gerne wissen, wie viele Fehler jeder Schüler durchschnittlich macht. Du hättest also gerne etwas wie n Fehler pro Schüler. Und diese Einheit "Fehler pro Schüler" legt bereits die Formel nahe:
Wenn du eine Tabelle hast, bei der oben die Namen und unten die Anzahl der Schüler mit diesem Namen stehen, was willst du da ermitteln? Die durchschnittliche Anzahl an "Namen pro Schüler" ergibt irgendwie wenig Sinn... Die durchschnittliche Anzahl an "Schülern pro Name" hingegen erscheint halbwegs plausibel und legt die Formel nahe:
So kann man es sicher betrachten ;)
Statt "Es gibt 4 Schüler*Innen mit einem Fehler" hätte man auch schreiben können:
"Anna, Bernd, Charlotte und Dennis haben jeweils einen Fehler".
Dann wäre klar geworden, dass die Anzahl der Fehler für diese 4 Schüler gerade
1 + 1 + 1 + 1 = 4 * 1 ist.
Aber die Auflistung von 30 Namen war der Aufgabenstellung wohl zu blöd 😂
Jaa, wobei 30 Namen wohl etwas zu viel auf dieser kleinen Seite im Buch gewesen wären xD
Der Mittelwert ist definiert durch:
1/n* Summe über xi, wobei i von 1 bis n geht.
xi sind dabei die Werte die gegeben sind und n die Anzahl der Werte.
Hier willst du den Mittelwert der Fehler bestimmen, dass 7 Schüler 2 Fehler hatten, bedeutet, dass der Wert 2 insgesamt 7 Mal vorkommt.
Somit ist der Mittelwert auch gleich (da xi nur ganzzahlige Werte zwischen 0 und 18 annimmt):
1/A* Summe über a(k)*k, wobei k von 0 bis 18 geht.
a(k) ist die Absolute Häufigkeit vom Wert k
A ist die Summe der Absoluten Häufigkeiten.
(Die Notation ist natürlich nicht Formal korrekt)
Das ist im Grunde das, was in der Lösung ausgerechnet wurde (nur dass die Fehler die nicht vorgekommen sind, übersprungen wurden)
Man teilt durch die gesamte Zahl, die sich aus allen Fällen ergibt. In deinem Beispiel st jeder Schüler ein einziger Fall. Sieben Schüler haben zwei Fehler gemacht, so macht es 7 Fälle insgesamt, darum muss man die Zahlen aus jedem Kästchen addieren, nicht die Anzahl der Kästchen.
Wir haben ja die Anzahl der Werte, das ist 150. Soviele Fehler
wurden insgesamt gemacht. Das teilt man durch die Anzahl der
Schüler, wenn man wissen will, wieviele Fehler im Durchschnitt
pro Schüler gemacht wurden.
Immer ein Genuss deine Antworten zu lesen ^^ Sehr einfach erklärt und kurz und knapp. Ich habe mir das jetzt mit oben vor allem so gemerkt:
Jeder einzelne Schüler bzw. Schülerin ist ja einem Fehler zugeordnet (also halt implizit, explizit steht das da ja nicht in der Häufigkeitsliste, aber man kann es sich denken). Das heißt: Vier Schüler haben einen Fehler gemacht, also werden jeweils vier Schüler/innen zu "einen Fehler" zugeordnet, daher muss ich auch die 4 Schüler/innen multiplizieren mit 1. Dasselbe auch mit zwei Fehlern: Hier haben sieben Schüler zwei Fehler gemacht, also sind jeweils sieben Schüler/innen eben "zwei Fehler" zugeordnet, weshalb ich die sieben Schüler mit 2 multiplizieren muss, usw.
Wären es dagegen nur einzelne Namen gewesen wie "Tim" => 1 Fehler und "Tom" => 2 Fehler, dann hätte ich da keinen Vorfaktor hinschreiben müssen (streng genommen wäre dieser Vorfaktor auch nur 1), da es sich ja jeweils nur um eine Person handelt, die einem der Fehler zugeordnet wird.