Wie wandele ich eine Hexadezimal in eine Zahl der Basis 5 um?

Normalerweise dividiere ich z. B. Dezimalzahl mit der Basis in die ich sie umwandeln möchte und schreibe dann die Reste auf, aber hier habe ich die Zahl 33.8 in Hex und muss sie in Basis 5 umwandeln, hat jemand eine Idee wie das am schnellsten und einfachsten geht?

Answer 1

[mihisu]

Ich würde zunächst als Zwischenschritt ins Dezimalsystem umwandeln.

Das würde ich empfehlen, da wir es gewohnt sind, im Dezimalsystem zu rechnen. Daher wird das von Hand schneller gehen. Und auch wenn man einen Taschenrechner verwenden darf, so sind diese ja auch meist für Eingabe und Ausgabe im Dezimalsystem ausgelegt. Eine richtig gute Abkürzung (so wie man beispielsweise von Basis 16 relativ leicht zu Basis 2 umrechnen kann, da 2⁴ = 16 ist) gibt es nicht, da 5 und 16 zueinander teilerfremd sind.

Also...

${33\text{,}8}_{16}=3\cdot {16}^1+3\cdot {16}^0+8\cdot {16}^{-1}$ $=3\cdot 16 + 3 + \frac{8}{16}=48+3+0\text{,}5=51\text{,}5$

Dann würde ich zunächst einmal den ganzen Anteil vor dem Komma umrechnen. Dazu kann man beispielsweise wiederholt durch 5 teilen...

51 : 5 = 10 Rest 1
10 : 5 =  2 Rest 0
 2 : 5 =  0 Rest 2

Dann kann man anhand der Reste ablesen, dass 51 = 201₅ ist.

Für den Nachkommaanteil kann man umgekehrt wiederholt mit 5 multiplizieren...

0,5 * 5 = 2,5

Da man hier direkt bei 2,5 = 2 + 0,5 wieder den gleichen Nachkommaanteil 0,5 erhält, wiederholt sich das periodisch und man kann aus den beim Multiplizieren erhaltenen Vorkommaziffern denn Nachkommaanteil zur Basis 5 erhalten. Es ist also 0,5 = 0,222...₅.

Also: 33,8₁₆ = 51,5 = 201,222...₅

${33\text{,}8}_{16}={201\text{,}\overline{2}}_{5}$

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Ansonsten könnte man auch versuchen direkt im Hexadezimalsystem die Divisionen bzw. Multiplikationen für die Umrechnung durchzuführen. Ich bezweifle aber, dass das von Hand gerechnet schneller ist, da man da leicht durcheinanderkommen kann, da wir es nicht gewohnt sind im Hexadezimalsystem zu rechnen und das entsprechende Einmaleins nicht gut im Kopf haben.

33₁₆ : 5₁₆ = A₁₆ Rest 1₁₆
 A₁₆ : 5₁₆ = 2₁₆ Rest 0₁₆
 2₁₆ : 5₁₆ = 0₁₆ Rest 2₁₆

Da kann man den ganzzahligen Anteil „201“ ablesen.

0,8₁₆ * 5₁₆ = 2,8₁₆
[der Anteil „0,8“ wiederholt sich --> periodisch]

Da kann man den sich periodisch wiederholenden Anteil „0,222...“ ablesen.

So erhält man also dann auch 201,222...₅. Das geht dann zwar ohne Zwischenschritt übers Dezimalsystem, wird für dich aber wahrscheinlich nicht einfacher und auch nicht schneller sein.