Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Eine Eishockeymannschaft spielt in den Play-Offs. Dabei hat man beobachtet, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft A von dem letzten Kampf abhängt. Nach einem verlorenen Spiel verliert die Mannschaft A das folgende Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Nach einem Sieg gewinnt die Mannschaft A das folgende Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. (zur 1. Aufgabe)
Aufgabe 2) In den Play-Offs soll die Mannschaft A so oft gegen die Mannschaft B spielen, bis eine der beiden Mannschaften drei Spiele für sich entschieden hat.
- Bestimmen Sie, mit wie vielen Spielen zwischen beiden Mannschaften im Mittel zu rechnen ist.
Danke im Vorraus :)
3 Antworten
Und was genau ist die Aufgabe? Du beschreibst nur Randbedingungen.
Danke, hab ich vergessen
- Bestimmen Sie, mit wie vielen Spielen zwischen beiden Mannschaften im Mittel zu rechnen ist.
Für mich fehlt hier die Wahrscheinlichkeit für Sieg oder Niederlage im ersten Spiel. Man weiß ja nicht ob Mannschaft A das letzte Spiel gewonnen oder verloren hat.
Dann kannst du jetzt ein Baumdiagramm aufstellen mit dem Abbruchkriterium 3 Siege für Mannschaft A oder 3 Siege für Mannschaft B. Bei jedem Pfad zählst du die Spiele zusammen und bildest den Mittelwert.
Ich gehe davon aus, dass im ersten Spiel immer 50%-50% Chancen gegeben sind?
Die Anzahl der Spiele (x) ergibt die Ausgangsmöglichkeiten (z.B. 3xA 0xB oder 2xA 1xB) der jeweiligen Anzahl der Spiele. Es kann zwischen 3 und 5 Spielen geben. Du musst die Gesamtwahrscheinlichkeit der Play-Offs-beendenden Ausgänge für die jeweilige Anzahl an Spielen (x) berechnen.
3 Spiele: 8 mögliche Ausgänge, 2 davon mit 3 Siegen für ein Team
--> diese zwei sind A-A-A und B-B-B
4 Spiele: 12 mögliche Ausgänge (weil 16 insgesamt aber 4 wären schon nach 3 vorbei), davon 6 mit 3 Siegen für ein Team
--> diese sechs sind A-A-B-A, A-B-A-A, A-B-B-B, B-A-A-A, B-A-B-B und B-B-A-B
5 Spiele: 12 mögliche Ausgänge (weil 32 insgesamt aber 20 wären schon nach 3 oder 4 vorbei), davon alle 12 mit 3 Siegen für ein Team
---> diese zwölf sind A-A-B-B-A, A-A-B-B-B, A-B-A-B-A, A-B-A-B-B, A-B-B-A-A, A-B-B-A-B, B-A-A-B-A, B-A-A-B-B, B-A-B-A-A, B-A-B-A-B, B-B-A-A-A, B-B-A-A-B
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Was du jetzt machen kannst, ist für jeden dieser Spielausgänge die Wahrscheinlichkeit ausrechnen:
---> für Anzahl der Spiele = 3
- für A-A-A wäre das 0,5 * 0,6 * 0,6 = 0,18
- für B-B-B wäre das 0,5 * 0,9 * 0,9 = 0,405
0,18+0,405 = 0,585 ---> mit 58,5% W'keit ist das Play-Off nach 3 Runden vorbei
----> jetzt das gleiche für Anzahl der Spiele = 4 machen
- für A-A-B-A wäre das 0,5 * 0,6 * 0,4 * 0,1 = 0,012
- für die anderen 5 Möglichkeiten genau so vorgehen
Dann die Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge mit 4 Spielen addieren und du hast die W'keit fürs Play-Off-Ende nach 4 Runden (nennen wir es Z)
---> für die Anzahl der Spiele = 5 kannst du dir die Arbeit sparen, denn du weißt bereits die "Negativwahrscheinlichkeit".
Das heißt, du musst die Werte 0,585 sowie das, was du als W'keit für ein Ende nach 4 Runden rausgekriegt hast (Z) von 1 abziehen:
W'keit für Ende nach 5 Runden (nennen wir es F) = 1 - 0,585 - Z
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Jetzt hast du 3 Wahrscheinlichkeiten, die zusammen 1,0 (100%) ergeben.
Ende nach 3 Runden = 0,585
Ende nach 4 Runden = Z
Ende nach 5 Runden = F
Und jetzt nur noch hieraus den gefragten Durchschnitt berechnen:
[0,585 * 3 + Z * 4 + F * 5] = Mittel der Spiele
Mannschaft A gewinnt bei Aufgabe 1 zu 27,5 % und verliert zu 72,5%