Wie lese ich die Funktionsgleichung von dem Graph ab?

Du kannst dem Schaubild einige Eigenschaften des Graphen entnehmen:

• y-Achsenabschnitt bei x = 0, y = 4
  → f(0) = 4
  
• Extremstelle bei x = 1, y = 5
  → f(1) = 5
  → f'(1) = 0
  
• Wendepunkt bei x = 2, y = 4
  → f(2) = 4
  → f''(2) = 0
  
• Wendepunkt bei x = 3, y = 3
  → f(3) = 3
  → f''(3) = 0
  
• Wendepunkt bei x = 4, y = 2
  → f(4) = 2
  → f''(4) = 0
  
• Extremstelle bei x = 5, y = 1
  → f(5) = 1
  → f'(5) = 0
  

Das sind schon einige Eigenschaften, anhand derer man die Funktionsgleichung des Graphen ermitteln kann.

Zuerst müssen wir dafür ergründen, von welchem Grad die Funktionsgleichung mindestens sein muss - wir suchen schließlich in der Regel das Minimalpolynom.

Wir haben mindestens drei Nullstellen von f'' (drei Wendepunkte) und nochmal mindestens zwei andere Nullstellen von f' (zwei Extrempunkte).

Hat f'' drei Nullstellen, ist also mindestens vom Grad 3, ist f' vom Grad 4 und f vom Grad 5. Bei f' haben wir allerdings nochmal 2 Nullstellen, dementsprechend kommt beim Grad noch 2 dazu und wir sind mindestens beim Grad 7.

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet also:
f(x) = ax⁷ + bx⁶ + cx⁵ + dx⁴ + ex³ + fx² + gx + h
f'(x) = 7ax⁶ + 6bx⁵ + 5cx⁴ + 4dx³ + 3ex² + 2fx + g
f''(x) = 42ax⁵ + 30bx⁴ + 20cx³ + 12dx² + 6ex + 2f

Zusätzlich haben wir ja oben einige Gleichungen aufgestellt:

• f(0) = 4
  f(1) = 5
  f(2) = 4
  f(3) = 3
  f(4) = 2
  f(5) = 1
• f'(1) = 0
  f'(5) = 0
• f''(2) = 0
  f''(3) = 0
  f''(4) = 0

Also setzen wir ein:

f(0) = 4
→ h = 4 (setzen wir unten gleich ein)

f(1) = 5
→ a + b + c + d + e + f + g + 4 = 5

f(2) = 4
→ 128a + 64b + 32c + 16d + 8e + 4f + 2g + 4 = 4

f(3) = 3
→ 2187a + 729b + 243c + 81d + 27e + 9f + 3g + 4 = 3

f(4) = 2
→ 16384a + 4096b + 1024c + 512d + 256e + 128f + 64g + 4 = 2

f(5) = 1
→ 78125a + 15625b + 3125c + 625d + 125e + 25f + 5g + 4 = 1

f'(1) = 0
→ 7a + 6b + 5c + 4d + 3e + 2f + g = 0

f'(5) = 0
→ 109375a + 18750b + 3125c + 500d + 75e + 10f + g = 0

f''(2) = 0
→ 1344a + 480b + 160c + 48d + 12e + 2f = 0

f''(3) = 0
→ 10206a + 2430b + 540c + 108d + 18e + 2f = 0

f''(4) = 0
→ 43008a + 7680b + 1280c + 192d + 24e + 2f = 0

Also haben wir folgendes Gleichungssystem:

1. a + b + c + d + e + f + g + 4 = 5
   
2. 128a + 64b + 32c + 16d + 8e + 4f + 2g + 4 = 4
   
3. 2187a + 729b + 243c + 81d + 27e + 9f + 3g + 4 = 3
   
4. 16384a + 4096b + 1024c + 512d + 256e + 128f + 64g + 4 = 2
   
5. 78125a + 15625b + 3125c + 625d + 125e + 25f + 5g + 4 = 1
   
6. 7a + 6b + 5c + 4d + 3e + 2f + g = 0
   
7. 109375a + 18750b + 3125c + 500d + 75e + 10f + g = 0
   
8. 1344a + 480b + 160c + 48d + 12e + 2f = 0
   
9. 10206a + 2430b + 540c + 108d + 18e + 2f = 0
   
10. 43008a + 7680b + 1280c + 192d + 24e + 2f = 0
    

Wir benötigen ohnehin nur die ersten sieben Gleichungen, da wir nur sieben Variablen haben. Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn genauso viele Gleichungen wie Variablen existieren, hier ist es sogar überbestimmt.

Man könnte das Gleichungssystem natürlich schriftlich lösen, aber bei solchen "Brummern" greift man in der Regel auf mathematische Programme zurück, das erspart einfach Zeit und rechnet auch ohne eventuelle Leichtsinnsfehler.

Wir kommen auf:

• a = 537/281600
• b = -3497/281600
• c = -179/2112
• d = 26039/28160
• e = -2156141/844800
• f = 484387/281600
• g = 84709/84480
  
• h = 4

Das sind die Lösungen unseres Gleichungssystems. Setzen wir sie ein und konstruieren damit die Funktionsgleichung, erhalten wir:

f(x) = 0,0019x⁷ - 0,0124x⁶ - 0,0848x⁵ + 0,9247x⁴ - 2,5523x³ + 1,7201x² + 1,0027x + 4 (gerundet)

Eine ziemlich krumme Gleichung, aber auch das hat seine Daseinsberechtigung in der Mathematik. Den zugehörigen Graphen findest Du unten - nicht alle Punkte sind exakt auf den Werten, wie oben angegeben, was aber schlicht und ergreifend an kleinen Rundungsungenauigkeiten liegt, die bei solch extremen Brüchen durchaus vorkommen kann. So liegt der Wendepunkt, der eigentlich bei (2 | 4) liegen sollte, hier bei (1,93 | 4,11). Das ist aber nicht weiter tragisch.

Man sieht: Die Funktionsgleichung abzulesen ist unmöglich. Das geht bei linearen Funktionen, quadratischen vielleicht auch noch, ab kubischen und quartischen Funktionen wird das aber ohne Weiteres schwierig.

Aber - wie hier auch sehr schön ersichtlich ist - egal, wie komplex ein mathematisches Problem ist, mit der richtigen Strategie kann man dieses einfach analog zu einfachen Problemen lösen. Die Ergebniswerte sind vielleicht nicht so schön, aber mehr oder minder einfach berechenbar.

LG

man kann sich die Erstellung der Matrix ein bisschen erleichtern, indem man einbezieht, dass f'(1) und f'(5) = 0 sind, außerdem f''(2), f''(3) und f''(4) =0 sind.

Wennj man der Darstellung dahingehend vertraut, dass die Funktion für x gegen + unendlich gegen + unendlich geht und für x gegen - unendlich gegen - unendlich, dann kann man zudem davon ausgehen, dass sie ungeraden Grades ist.

Aber um das alles durchzurechnen bin ich zu faul und ich weiß auch nicht den Grad mit dem ich anfangen würde.

Die Funktion hat 3 Wendepunkte und ist punktsymmetrisch zum Punkt (3/3).

Sie muss also mindestens 5. Grades sein.

Ich bin aber nicht ganz sicher, ob das mit der Punktsymmetrie korrekt ist.

Da f(0) = 4 ist, ist das Absolutglied = 4

Du kannst die Funktionsgleichung nicht ablesen. Du kannst Punkte ablesen und daraus eine Funktionsgleichung machen. Du hast hier 7 Punkte, also kannst du eine Funktion 6ten Grades aufstellen.

Da du aber in einem Kommentar geschrieben hast, dass die eigentliche Aufgabe ist, die Ableitung zu bestimmen, ist das Unsinnig.

Du kannst aus der Grafik sehen, ob die erste Ableitung positiv oder negativ ist. Sinn der Aufgabe ist es, den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung zu begreifen. Du brauchst dafür keine Gleichung.

Die erste Ableitung einer Funktion ist deren Steigung. -> Wenn die Funktion steigt, ist die erste Ableitung ...? und wenn die Funktion fällt, dann ist die erste Ableitung ...? 
Bei einem Extrempunkt, ist die Steigung 0 und die erste Ableitung hat eine Nullstelle. Deswegen bestimmst du die Nullstellen der ersten Ableitung, wenn du die Extremstellen der Funktion wissen willst.

Wie ich einem Kommentar von dir entnehme, brauchst du nicht die Funktionsgleichung, sondern nur die Information, ob die Ableitung positiv oder negativ ist. 

Das sieht man allerdings auch, ohne die Funktionsgleichung zu kennen.

Die Ableitung gibt die STEIGUNG einer Funktion an. Positive Steigung bedeutet salopp gesagt, die Funktionswerte werden größer, wenn du nach rechts gehst, bei negativen werden sie kleiner.

Ich fange mal an: von 0 bis 1 wächst die Funktion von 4 auf 5 stetig, in dem Intervall ist die Ableitungsfunktion also positiv...

So, damit solltest du den Rest auch schaffen.