Wie lassen sich die Formel für die Gesamtwiderstände in den Stromkreisen herleiten?

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3 Antworten

Es geht auch über die Formeln mit denen man aus spezifischem Widerstand ρ, der Länge l und der Querschnittsfläche A den Widerstand R ausrechnet
(falls ihr das schon hattet).
Der spezifische Widerstand ist eine Materialkonstante.

Danach ist:
       ρ
R = --- * l
       A

(oder in Worten: je länger - desto größer der Widerstand, je größer der Querschnitt, desto kleiner der Widerstand).

Hier mal der Beweis für die Serienschaltung:

Die Frage: was ist Rg, wenn ich R1 und R2 in Reihe schalte?

Nimmt man zwei Widerstände R1 und R2, so gilt nach obigem Gesetz:

        ρ1
R1 = -- * l1
        A1

        ρ2
R2 = -- * l2
        A2

wenn sie den gleichen Querschnitt und das selbe Material hätten, wäre es leicht auszurechnen: man müsste lediglich einen Widerstand der Länge l1+l2 nehmen (und wenn Du das tust, in obige Formel einsetzt und ausmultiplizierst kommt sofort R1+R2 heraus).

Für einen generellen Beweis (mit beliebigen Querschnitten und beliebigen Materialien), zunächst ein Trick:
wir multiplizieren die rechte Seite der zweiten Formel mit einem Konstanten Faktor C, und dividieren diesen gleich wieder heraus (indem mit dem Kehrwert wieder multipliziert wird).

C wird so gewählt, daß sich A2 und ρ2 herauskürzen, und ρ1 sowie A1 übrig bleiben, wenn man die rechte Seite der zweiten Formel damit multipliziert (unten wird erklärt, was das physikalisch bedeutet):

       A2 * ρ1
C = -----------
       A1 * ρ2

         A2 * ρ1    ρ2          A1 * ρ2
R2 = ---------- *  --- * l2 * -----------
         A1 * ρ2    A2          A2 * ρ1


und kürzen vorne:

         1   * ρ1    1            A1 * ρ2
R2 = ---------- *  --- * l2 * -----------
         A1 * 1      1            A2 * ρ1

es bleibt:

         ρ1            A1 * ρ2
R2 = ---- *  l2 * -----------
         A1            A2 * ρ1

jetzt ersetzen wir l2 durch ein neues l2':

              A1 * ρ2
l2' = l2 * -----------
              A2 * ρ1

und erhalten:

        ρ1
R2 = -- * l2'
        A1

(in Worten: wir errechnen, wie groß l2' sein müsste, damit bei Material ρ1 und Querschnitt A1 der Widerstand R2 herauskäme)

Somit haben wir jetzt zwei Widerstände mit gleichem Material und gleichem Querschnitt, und können sie (wegen Reihenschaltung) durch einen längeren mit der Länge l1 + l2' ersetzen:

         ρ1
Rg = -- * (l1 + l2')
         A1

ausmultiplizieren:

   ρ1            ρ1
= --- * l1  +  --- * l2'
   A1            A1

Der erste Term ist wieder R1, im zweiten ersetzen wir l2' wieder:

               ρ1           A1 * ρ2
= R1  +   ---- * l2 * -----------
               A1           A2 * ρ1

kürzen:

               1             1  * ρ2
= R1  +  ---- * l2 * -----------
               1             A2 * 1

                     ρ2
= R1  +  l2 * -----
                     A2

und R2 wieder einsetzen:

 = R1 + R2

qed.

Analog geht der Beweis für die Parallelschaltung;
hier muss man die Widerstände mit Hilfe eines Konstanten Faktors C auf die selbe Länge bringen (+ selbes Material), damit man die Querschnitte addieren kann, und dann analog vorgehen (ist ein bisschen komplizierter, und ich habe jetzt auch keine Lust und Zeit mehr).
Vielleicht machst Du es selbst, oder ein anderer hier im Forum ist so nett...

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das lässt sich über die Kirchhoffschen Gesetze und dem Ohmschen Gesetz herleiten.

-Der Strom zwischen zwei Knoten ist immer konstant, sodass für die Spannungsanteile stets gelten muss I*R1+ I*R2+ I*R3....

I ausgeklammert: I (R1+R2+R3...)

und für die Gesamtspannung zwischen den zwei Knoten muss gelten nach ohmschen Gesetz: U = I * Rges   --> Rges =R1+R2.....

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äh naja in Reihenschaltung gilt ja immer I=U1/R1, I=U2/R2, I=U3/R3 usw

und U gesamt in einer Reihenschaltung ist ja gleich I*Rgesamt

und nach dem zweiten kirchhoffschen Gesetz gilt U=U1+U2+U3 usw... 

setzt man die ersten 4 Gleichungen in die letzte ein erhält man

I*R=I*R1+I*R2+I*R3 das dividierst du durch I und hast es

Bei der Parallelschaltung hingegen gilt

U=I1*R1, U=I2*R2, U=I3*R3

Des Weiteren gilt Igesamt = U/Rgesamt

Nach dem ersten Kirchhoffschen Gestz gilt : I = I1+I2*I3

setzt man die ersten 4 Gleichungen wieder ein erhält man..

U/Rgesamt=U/R1+U/R2+U/R3 das dividierst du durch U und erhälst 1/Rgesamt=1/R1+1/R2+1/R3

endlich kann ich mal mein elektrotechnik-wissen anwenden haha

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Kommentar von xIChxhaltx
23.02.2016, 18:07

Hey - vielen vielen Dank für die Antwort - von dem Kirchhoffschen Gesetzt hatte ich bis heute noch garnichts gehört muss ich gestehen. Aber so macht das alles auch Sinn - vielen Dank ! :)

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