Frage von schneelover, 78

Wie konstruiert man einen 67,5 grad winkel mit dem zirkel?

Geht das überhaupt?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 44

Hallo,

sicher geht das.

Sieh Dir meine Konstruktionsskizze an:

Zunächst habe ich einen Thaleskreis (grün) konstruiert. Wenn ich die beiden Endpunkte des Kreisdurchmessers mit einem Punkt auf dem Halbkreis über dem Durchmesser verbinde, treffen sich die Verbindungslinien in einem 90°-Winkel (grün) am Kreis.

Diesen Winkel halbierst Du, indem Du um den Scheitel einen Kreis schlägst, die Schnittpunkte mit den Schenkel verbindest und den Mittelpunkt zwischen ihnen konstruierst (Mittelsenkrechte, ich habe das programmeigene Werkzeug benutzt) Diesen Mittelpunkt und den Scheitel des rechten Winkels verbindest Du. So erhältst Du zwei 45°-Winkel (grün/ blau).

Einen dieser Winkel halbierst Du noch einmal und erhältst so einen 22,5°-Winkel. Zusammen mit dem 45°-Winkel addiert er sich zu einem Winkel von 67,5° (rot).

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 17

Zunächst einmal drücken wir den Winkel in Bruchteilen des Vollwinkels aus:

67,5° = 3/16 * 360°

Winkel lassen sich leicht (mit bekannten Verfahren) addieren und damit auch mit ganzen Zahlen vervielfältigen.

Probleme macht höchstens der Nenner.

Aber hier haben wir Glück: Der Nenner ist eine Potenz von 2. Und Winkel lassen sich halbieren.

Da ein 90°-Winkel schon die 2. Halbierung des Vollkreises ist und 16 = 2^4, brauchst du den 90°-Winkel nur noch 2mal zu halbieren und den entstehenden Winkel zu verdreifachen. Oder 1/2 * 90° und 1/4 * 90° addieren.

Kommentar von PWolff ,

Zu einer Diskussion darüber, welche Nenner bei der Konstruierbarkeit von Winkeln auftreten dürfen, siehe z. B. https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon

Antwort
von Oubyi, 28

Konstruiere eine 90°-Winkel von einer Grundlinie aus.
Halbiere diesen Winkel, sodass Du zwei 45° Winkel hast.
Halbiere den oberen der beiden 45°-Winkel und diese Linie bildet mit der Grundlinie einen 67,5°-Winkel.

Kommentar von noskill187 ,

So gehts natürlich auch :D

Antwort
von noskill187, 39

Natürlich

1. 90° Winkel auf Grundlinie konstuieren
2. 60° Winkel ebenfalls auf Grundlinie (selber Schnittpunkt) konstuieren
3. Den dazwischen entstandenen 30° Winkel halbieren
4. Den 15° Winkel nochmals halbieren

Tadaaaa


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