Wie kann man eine Komplexe Zahl in Exponentialform in die kartesische Form umwandeln?

Moin Moin,

wie kann ich

$e^{in\pi+2k\pi}$

in die Form

$z=x+iy$

umwandeln?

Anmerkung: gemeint ist i mal n mal π bzw. 2 mal k mal π alles Teil des Exponenten.

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo hasesh,

eigentlich ist die Umrechnung von der Exponentialform einer Komplexen Zahl in deren kartesische Form einfacher als umgekehrt. Grundlage ist die…

…EULER-Formel

$(1)\quad\mathrm{e}^{\pm i\varphi}=\cos(\varphi)\pm i\cdot\sin(\varphi),$

die sich über die Potenzreihendarstellungen der Exponentialfunktion, des Sinus und des Cosinus motivieren lässt:

$e^{iφ}=1+i\varphi+i^2\varphi^2+i^3+\varphi^3+...=1+i\varphi-\varphi^2-i\varphi^3+...$

Die geraden Terme sind reell und bilden den Cosinus, die ungeraden imaginär und bilden den Sinus. Sie kehren ihr Vorzeichen um, wenn man i durch –i ersetzt, die anderen nicht.

Allgemeine Komplexe Zahl

Durch so eine Zahl, multipliziert mit einem reellen Faktor r≥0, lässt sich jede beliebige Komplexe Zahl ausdrücken, also

$(2.1)\quad z=\mathrm{e}^{i\varphi}=r\cos(\varphi)+i\cdot r\sin(\varphi);$

es ist also

(2.2) x = r·cos(φ)
(2.3) y = r·sin(φ).

Übrigens lässt sich z mit

$\zeta=\mathrm{\ln}(r)$

auch als reine Exponentialfunktion ohne Vorfaktor formulieren, als

$(2.4)\quad z=\mathrm{e}^{\zeta}\cdot\mathrm{e}^{i\varphi}\equiv\mathrm{e}^{\zeta+i\varphi}$

formulieren.

Betrag einer Komplexen Zahl

Fasst man x+iy∈ℂ als Vektor (x; y)∈ℝ² auf, ist nach dem Satz des PYTHAGORAS

(3.1) x² + y² = r²

und r ist der Betrag dieses Vektors. Dies ergibt sich allerdings auch, wenn man z mit seinem Komplex Konjugierten

z* = x – i·y

multipliziert, denn dann fallen nach der 3. Binomischen Formel die Mischterme raus und wir erhalten wieder die positive Reelle Zahl

(3.2) zz* = (x + iy)(x – iy) = x² – i²y² = x² + y² = r².

Phase

Aus (2.2-3) geht hervor, dass

tan(φ) = y/x

ist, vorausgesetzt, x≠0. Deshalb und weil

(–y)/(–x) ≡ y/x
(–y)/x ≡ y/(–x)

ist, muss man hier eine Fallunterscheidung vornehmen, etwa

(4.1) x>0, y>0: φ = arctan(y/x)
(4.2) x=0: φ = sign(y)·π/2
(4.3) x<0: φ = π·sign(y) + arctan(y/x).

Vorteile beider Darstellungen

In kartesischer Darstellung lassen sich Komplexe Zahlen besser addieren und subtrahieren, in Exponentialdarstellung leichter multiplizieren, dividieren, potenzieren etc.: Die Beträge zweier Komplexer Zahlen multiplizieren bzw. potenzieren sich wie gewöhnlich, die Phasenfaktoren addieren bzw. multiplizieren sich.

Periodizität

Ein Faktor e^{inπ} - oder ein Summand inπ im Exponenten, was auf dasselbe hinausläuft - ist dasselbe wie ein Faktor (–1)ⁿ, d.h., wenn n gerade ist, gibt es keine Veränderung.

Dein Beispiel

Falls in Deinem Beispiel n eine Ganze Zahl sein sollte, kann

$\mathrm{e}^{n\pi\cdot i+2k\pi}$

nur eine Reelle Zahl sein, bei geradem n auch nur eine positive. Ist k auch eine Ganze Zahl, so handelt es sich beim Betrag um eine ganzzahlige Potenz von e^{2π}≈535,5.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

es gilt:

a*e^(i*n*π)=a*(cos (nπ)+i*sin (nπ))

Du hast e^(i*nπ+2kπ), was nach den Potenzgesetzen das Gleiche ist wie

e^(i*nπ)*e^(2kπ)

e^(2kπ) ist eine Konstante, entspricht also dem Vorfaktor a aus der allgemeinen Formel.

So kommst Du auf e^(2kπ)*(cos (nπ)+i*sin (nπ))

Umrechnen in z=a+bi:

a=e^(2kπ)*cos (nπ)

b=e^(2kπ)*sin (nπ)

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[mrmeeseeks8]

Am einfachsten durch die Eulersche Formel. exp(ix)=cos(x)+i(sinx).

=> exp(i(n*pi+2k*pi))=cos((n+2k)*Pi) + i*sin((n+2k)*Pi)

Der Rest sollte offensichtlich sein.

Comments

[hasesh]

Da fragt man sich nur, woher du das n im zweiten Summanden nimmst??

[mrmeeseeks8]

@hasesh

Hab pii statt pi gelesen. Dann einfach e^(2k*Pi) als eigenen Faktor rausziehen.

Answer 4

[gfntom]

über die Eulersche Formel:

$e^{iy}\ =\ \cos\left(y\right)\ +\ i\ \cdot\sin\left(y\right)$