Wie kann man eine Funktion modellieren, die sich anfangs exponentiell und später linear verhält?
3 Antworten
Hier mal ein Beispiel :
f(x) = 0.5 * e ^ (0.3 * x) * (1 / 2) * (1 - tanh(2 * (x - 12))) + (2 * x + 1) * (1 / 2) * (1 + tanh(2 * (x - 12)))
Das verhält sich Anfangs wie eine Exponentialfunktion 0.5 * e ^ (0.3 * x) , und später wie eine lineare Funktion 2 * x + 1
Einzelheiten kannst du hier nachlesen und schaue dir dort die Antwort von PWolff an und meinen Kommentar unter der Anrtwort an :
https://www.gutefrage.net/frage/gibt-es-einfachere-funktionen-die-genau-dieselbe-eigenschaft-haben
Je größer n gewählt wird, desto abrupter der Übergang zwischen den "verschmolzenen" Funktionen.
Hier mal ein Bild :
(Auf das Bild klicken, um es zu vergrößern !)
Das interessante dabei ist, dass man beliebig viele Funktionen "mergen" kann.
Man kann also auch Spilne-Funktionen, die ja auch abschnittsweise definiert sind, mit einander zu einer einzigen Funktion verschmelzen.
Je größer n gewählt wird, desto genauer die Approximation in den Übergangsbereichen, und desto abrupter / "steiler" der Übergang.
Zum Beispiel von oben :
Setzt man Beispielsweise n = 100 dann erhält man an der Stelle x = 11.95 bereits 0.9999546, eine perfekte Approximation wäre 1.
An der Stelle x = 11.9 erhält man bereits 0.9999999979
Ich habe in meiner Antwort von oben n = 2 gesetzt, um den Übergang "glatter" zu gestalten.
Setzt man n = 1000 dann erhält man bereits an der Stelle x = 11.995 den Wert 0.9999546
Für mich ist das ein Symbol dafür, dass abschnittsweise definierte Funktionen gar keinen so großen "Makel" haben, wie man denken könnte.
Es gibt auch Nachteile :
- Funktionen werden dadurch zu sehr langen Ausdrücken
- Viele Rechner / Programmiersprachen machen es nicht mit, wenn man n zu groß wählt. Wenn man "abitrary precision" implementiert, egal ob selber programmiert oder als Bibliothek / Modul aus Fremdquellen, kann man allerdings das Problem beseitigen.
Das ist die Antwort die er unter jede Farbe schreibt
Sorry, aber ich verstehe nicht was du mit diesem Kommentar sagen willst.
du meinst :: Frage :: nicht :: Farbe :: oder ? Und was willst du damit sagen ?
Das würde ich auch gerne wissen, was der Kommentar bedeuten soll.
Vielleicht wäre diese Funktion ein Ansatz:
Am Anfang (um x = 0 herum) verhält sich diese Funktion exponentiell und im unendlichen (x -> unendlich) wie "2(x-10)"
Das ist nicht so einfach. Du könntest dir mal Fourier anschauen. Damit kannst du es zumindest genähert hinbekommen
Wie genau soll das mit Fourier gehen? Spielst du auf die Fouriertransformation oder die Fourierreihe an? Oder meinst du vielleicht sogar was ganz anderes?
Die Fourierreihe ist doch nur sinnvoll bei "periodisch fortgesetzten" Funktionen, oder etwa nicht?
Die Funktion vom Fragesteller würde doch gar nicht unter diese Kategorie fallen?
das es nur eine fkt sein kann , überrascht mich , aber so ist eben die Mathematik, immer ein bisschen überraschend.
ich wollte ganz primitiv antworten : Abschnittsweise definieren.