Wie kann ich diese Matheaufgabe lösen ?

Hallo,

Es geht um folgende Aufgabe:

Elena behauptet: „Je größer in einerPotenzfunktion mit der Gleichung f(x) = x^-n die Zahl n ist, desto kleiner ist der Funktionswert an einer Stelle x > 0." Hat sie recht? Begründe deine Meinung.

Ich weiß leider nicht wie man sagen soll ob es stimmt oder nicht und wie es begründet werden könnte. Ich bin für jede Hilfe dankbar.

VG

Answer 1

[nobytree2]

Wir können einfach überprüfen

$Sei\ n_2>n_1$ Dann soll gelten für x >0

$f_1\left(x\right)=x^{-n_1}>x^{-n_2}=f_2\left(x\right)$ $Sei\ n_2=n_1+z\ mit\ z\in\mathbb{R},\ z>0$ $x^{-n_1}>x^{-\left(n_1+z\right)}=x^{-n_1}\cdot x^{-z}$

Da x > 0, ist x hoch n_1 ebenfalls größer 0, man kann also dadurch teilen, ohne an der Relation etwas ändern zu müssen

$1>x^{-z}$

Da x > 0 können wir den Logarithmus ziehen, da dann auch x hoch irgendwas in R > 0:

$0>\ \ln\left(x^{-z}\right)=-z\cdot\ln\left(x\right)$ Da z größer 0, können wir durch z teilen. $0>-\ln\left(x\right)\ \to0<\ \ln\left(x\right)\to e^0=1<x$ gilt also nur, wenn x > 1.

Beweis auch: Sei x = 1, dann ist es offensichtlich falsch, da

$\forall a,b\in\mathbb{R}:1^a=1^b$

Comments

[DerRoll]

Das ist aber sehr ausführlich :-).

Answer 2

[DerRoll]

Zunächst überlege dir noch mal was x^(-n) überhaupt bedeutet. Dann mache eine Fallunterscheidung für x < 1 und x > 1..

Answer 3

[Suboptimierer]

Hmm, das soll für alle x > 0 gelten?

Für x = 1 bekomme ich bei f_n(1) konstant 1 heraus.

Answer 4

[TUrabbIT]

x^(-n) <=> 1/x^n

Das wird offensichtlich immer kleiner mit steigendem n und x>0 (außer bei x = 1). Allgemeiner: für x<1 oder x>1 nähert sich der Funktionswert f(x) immer mehr der 0 an.

Bei x=1 ist die Funktion konstant. Im Bereich 0<x<1 steigt der Funktionswert.

Daher ist die Behauptung falsch.

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[DerRoll]

Du hast nicht die gesamte Behauptung gelesen. Was ist mit 0 < x < 1?

Answer 5

[Aurel8317648]

Es sei x>1 und n>m:

Behauptung:

x^-n < x^-m

Umformung mittels Potenzgesetz:

1/x^n < 1/x^m

qed

Comments

[DerRoll]

sei k = n - m > 0. Du behauptest also für alle x wäre 1/x^k <= 1? Bist du dir sicher?

[Aurel8317648]

@DerRoll

Ja für x>1, dein Kommentar hat sich mit meiner Korrektur überschnitten, jetzt für 0<x<1 untersuchen ....