Wie kann ich diese Aufgabe mit dem Sinussatz lösen?
Hallo, ich stecke momentan echt fest und finde einfach keine Lösung kann mir vielleicht jemand helfen? Ich schätze mal man muss mit dem Sinussatz rechnen weil alle Winkel gegeben sind aber den beherrsche ich wirklich nicht.
Danke für alle Antworten.
5 Antworten
Die Winkelfunktionen liefern drei Möglichkeiten:
- sin a = G/H
- cos a = A/H
- tan a = G/A
A: Ankathete
G: Gegenkathete
H: Hypotenuse
a: Winkel Alpha
In deiner Aufgabe ist jederzeit nur von der Gegenkathete (hier: die Höhe h) sowie die Ankathete (hier: die Entfernung zum Hindernis) die Rede. Daher sollte man genau jene Möglichkeit der Winkelfunktion wählen, wo auch dort von beiden die Rede ist. Daher ist die einzige Möglichkeit die Tangens-Funktion mit
tan a = G/A
Deine Ankathete hat für den Fall a = 25° die Länge A = x + e = x + 50 m und im Fall a = 40° die Länge A = x. Die Höhe bleibt immer gleich.
Stellst du nun für beide Fälle mittels der genannten Tangens-Funktion Gleichungen auf, dann stellt sich heraus, dass du letzten Endes zwei Gleichungen hast und zwei Variablen/Unbekannte. In der Mathematik gilt: Ein Gleichungssystem ist dann lösbar, wenn mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sind und diese Gleichungen unabhängig voneinander sind. Dies ist hier der Fall.
Jetzt behandelt du das ganze als Gleichungssystem und verwendest Gleichsetzungs- oder Eliminierungsverfahren. Da zuerst x berechnet werden soll bzw. es empfohlen wird, empfehle ich das Umstellen einer Gleichung nach h und das Einsetzen dieser dann in die andere Gleichung. Das Ergebnis hieraus stellst du nach x um.
Hast du x berechnet, hast du h schnell berechnet.
Achte hierbei auf das richtige Umstellen der Gleichungen, denn hier werden viele Fehler gemacht!
Das bedeutet für dich: Beachte
- das Aus-/Einklammern von Variablen oder Zahlen
- das Trennen von Brüchen, da im Zähler oder Nenner eine Summe vorhanden ist und
- kürze keine Summen im Quotienten/Bruch!
Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck das Verhältnis zwischen Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich ist. Also a/sin(a)=b/sin(b)
in deinem Bsp haben wir schon einmal das Verhältnis zwischen der Seite e(50 m) und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Denn der gegenüberliegende Winkel ist 15 Grad. Wieso? Weil wir haben vom Großen Dreieck schon zwei Winkel welche 115 Grad ergeben. Das heißt der dritte Winkel welcher aus zwei Winkeln besteht ist 65 Grad groß. und vom rechten Dreieck wissen wir die Zwei Winkel und die ergeben zum 130 Grad das heißt der Winkel rechts oben muss 50 Grad sein (180 Grad Winkelsumme) und 65-50=15 also das Verhältnis zwischen e und dem Sinus von 15 ist gleich wie das Verhältnis von der Seite gegenüber des 25 Grad Winkels und dem Sinus des 25 grad Winkels.durch umformen kommen wir darauf, dass 50/sinus(15) * sinus(25)= die Seite gegenüber vom 90 Grad Winkel. und dann verwendest du wieder den sinussatz für das rechte bsp:)
Hoffe du verstehst es
Du kannst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen. Kleiner Tipp: Ich würde hier beide Male über den Tangens gehen, weil sowohl h, als auch x in den Katheten stecken.
Ja, das ist die erste Gleichung. :) Und das andere Dreieck?
(1) tan(25°) = h / (50+x) >> h = tan(25°) • (50 + x)
(2) tan(40°) = h / x >> h = tan(40°) • x
(1) = (2)
x • (tan(40°) - tan(25°)) = 50 • tan(25°)
x = 50 • tan(25°) / (tan(40°) - tan(25°)) = 62,5m
aus(2) h = 52,5m
Kontrolle aus (1): h = 52,5m
https://www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Sinus
Hier findest du die sinus formel gut erklärt.
Sin(alpha) = gegenkathete ÷ hypotenuse
Also: tan(25°)= h/50+x?