Wie gehe ich bei Optimierungsaufgaben vor?
Hello, da ich heute nicht zur Schule gehen konnte habe ich den Anfang des Themas "Optimierungsprobleme" nicht mitbekommen, muss aber trotzdem die Hausaufgaben lösen. Daher: Wie gehe ich vor?
Ein 18 Zentimeter langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden. Für welche Seitenlänge x ist der Flächeninhalt: a: 4.25 cm^2 b: min. 11.25 cm^2 c: am größten und wie groß
Hoffe ihr könnt mir eine Vorgehensweise erklären! Danke!
2 Antworten
Umfang des Rechtecks ist gegeben (18 cm). Die Seiten sind a und b, die Formel für den Umfang ist U = 2a + 2b, die für den Flächeninhalt A = a·b.
Jetzt hast du 2 Gleichungen:
a· b = A
2a+2b = 18 <=> a+b = 9 <=> b = 9-a
Das kannst du in die erste Gleichung einsetzen und musst das dann lösen. Also für a):
a·b = 4,25
a·(9-a) = 4,25 <=> 9a-a² = 4,25 <=> a²-9a+4,25 = 0
Das kann man dann mit der Mitternachts- oder der pq-Formel lösen:
a1 = 0,5 und a2 = 8,5
Daraus folgt dann
b1 = 8,5 und b2 = 0,5
Für a = 0,5 und b = 8,5 hat das Rechteck also einen Flächeninhalt von 4,25.
Der Rest geht analog.
Als Tipp: Maximal wird der Flächeinhalt bei einem Quadrat.
c) Flächeninhalt A = x (9 - x) = 9x - x². Ableitung A' = 9 - 2x = 0, also x = 4,5