Wie beweist man das?
Hallo!
Ich habe versucht, dass teilen durch 0 zu definieren(Bei den Komplexen Zahlen).
Ich habe es nicht geschafft, und dann erfahren, dass es unmöglich ist zu definieren. Es wurde bewiesen. Aber ich habe nach dem Beweis gesucht, und es leider nicht geschafft, ihn zu finden. Kann mir bitte jemand den Beweis geben?
3 Antworten
Die 0 ist das (einzige) neutrale Element der Addition, 0 + x = x.
In einen Körper wie den komplexen Zahlen verlangt man auch die Gültigkeit des Distributivgesetzes, also
0 * x = ( 0 + 0 ) * x = 0 * x + 0 * x.
Daraus folgt, weil 0 das neutrale Element der Addition ist, dass 0 * x = 0. Und damit kann kein x invers zu 0 sein.
Alles in der Mathematik muss sich an ihre Axiome halten, so auch Zahlen.
Sie können sich sie die wie Logikregeln vorstellen.
Rein theoretich: Ist die Division durch 0 möglich, so sollte als Ergebnis eine Zahl rauskommen. Zahlen halten sich auch an diese Logikregeln. Gehen wir jetzt diese mit der neuen Zahl durch, sehen wir jedoch, dass diese diesen Regeln wiedersprechen, also erüllt es nicht die Bedingungen einer Zahl, also ist es nicht definiert. Ergibt die Division immer eine Zahl, doch wir weisen somit nach, das das keine Zahl ist, so ist es nicht definiert.
Unmathematich gesagt: Wir können uns fragen, was eine Zahl ist. Schauen wir ob diese Definition auch auf etwas durch 0 dividiertes gilt, sehen wir das es nicht so ist, also nicht definiert ist.
Das ist es ganz grob verallgemeinert...
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte. :)
Ich habe den Beweis auch irgendwo in einen den Büchern zu komplexen Zahlen bei mir. Wenn Sie interessiert sind, könnte ich versuchen diesen Buch auszukramen, die Seite zu finden und es Ihnen zu senden.^^
ErgänzungEinleitung
Ich hab's gefunden.
Es war sogar in einen Buch über komplexe Zahen "Komplexe Zahlen und ebene Geometrie" von Jachim Endel (die zweite Auflage).
Er führt es auf Seite 7 recht weit unten auf der Seite aus, als Beispiel (aufgeführt unter Beispiel 1.2) dafür, das man nicht einfach alles eine Zahl definieren kann, wass in reellen nicht definiert ist.
Beweis
In ℝ gibt es bekanntlich zu 0 kein Inversives 0⁻¹ bezüglich der Multiplikation. Durch 0 darf man (genauer: kann man) nicht teilen, wie jeder Schüler lernt. Um diesen Mangel zu überwinden, führen wir eine neue Zahl j ein mit j = 0⁻¹, d.h.
0 ⋅ j = 1
Als Konsquenz ergibt sich [...] einerseits
(0 + 0) ⋅ j = 0 ⋅ j = 1 (Addition in der Klammer)
und andererseita
(0 + 0) ⋅ j = 0 ⋅ j + 0 ⋅ j = 1 + 1 = 2 (Distributivgesetz),
es folgt in ℝ: 1 = 2, Wiederspruch!
Das ist halt ein Verstoß gegen diese Regeln, aslo kann es unmöglich definiert sein.
Anmerkung
"0 ⋅ j = 1" ist natürlich eigentlich nicht definiert, jedoch folgt das hier unwiederruflich daraus das j die Inversion von 0 bezüglich der Multiplikation sein soll.
PS
Das Buch ist eigentlich ziemlich gut und interessant.
Es sind zwar ein paar kleine Schusseligkeitsfehler drin, wie eine Seite zuvor, wo sqrt(3) = 3 sein soll, aber nichts was einen flaschen Inhalt transportiert.
Zudem gibt es noch andere Beweise. Z.B. gibt es da einen über eindeutige Äquivalenzumformungen, welche dann bei einer solchen Zahl nicht mehr funktionieren würden (bzw. nur eingeschränkt funktionieren), doch der ist nicht im Buch.
Einleitung
ch hab's gefunden.
Es war sogar in einen Buch über komplexe Zahen "Komplexe Zahlen und ebene Geometrie" von Jachim Endel (die zweite Auflage).
Er führt es auf Seite 7 recht weit unten auf der Seite aus, als Beispiel (aufgeführt unter Beispiel 1.2) dafür, das man nicht einfach alles eine Zahl definieren kann, wass in reellen nicht definiert ist.
Beweis
In ℝ gibt es bekanntlich zu 0 kein Inversives 0⁻¹ bezüglich der Multiplikation. Durch 0 darf man (genauer: kann man) nicht teilen, wie jeder Schüler lernt. Um diesen Mangel zu überwinden, führen wir eine neue Zahl j ein mit j = 0⁻¹, d.h.
0 ⋅ j = 1
Als Konsquenz ergibt sich [...] einerseits
(0 + 0) ⋅ j = 0 ⋅ j = 1 (Addition in der Klammer)
und andererseita
(0 + 0) ⋅ j = 0 ⋅ j + 0 ⋅ j = 1 + 1 = 2 (Distributivgesetz),
es folgt in ℝ: 1 = 2, Wiederspruch!
Das ist halt ein Verstoß gegen diese Regeln, aslo kann es unmöglich definiert sein.
Anmerkung
"0 ⋅ j = 1" ist natürlich eigentlich nicht definiert, jedoch folgt das hier unwiederruflich daraus das j die Inversion von 0 bezüglich der Multiplikation sein soll.
PS
Das Buch ist eigentlich ziemlich gut und interessant.
Es sind zwar ein paar kleine Schusseligkeitsfehler drin, wie eine Seite zuvor, wo sqrt(3) = 3 sein soll, aber nichts was einen flaschen Inhalt transportiert.
Zudem gibt es noch andere Beweise. Z.B. gibt es da einen über eindeutige Äquivalenzumformungen, welche dann bei einer solchen Zahl nicht mehr funktionieren würden (bzw. nur eingeschränkt funktionieren), doch der ist nicht im Buch.
Vielen Dank!
Ich werde es mir mal angucken, da ich sehr an Mathe interessiert bin.
Danke!
Das hat nichts mit komplexen Zahlen zu tun... Das kommt aus der Algebra ziemlich früh... wenn es mit Körpern losgeht... https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)
Die Punkt-Operation („Multiplikation“) ist gar nicht für das neutrale Element (0) der Plus-Operation (Addition) definiert, weil die 0 ersichtlich keinen Kehrwert (0·x=1) haben kann... der Versuch, ein Element hinzuzufügen, das dann doch Kehrwert der 0 ist, schlägt fehl, weil dann auch sowas passieren könnte (wenn man von links eine 2 „multipliziert“): 2·(0·x)=(2·0)·x=0·x=2·1=2 und schon wär 1=2, weil doch 0·x=1 sein sollte... 😋
Danke! Auf so einen Wiederspruch bin ich auch gekommen.
Vielen Dank!
Vielen Dank!
Das mit dem Buch wäre natürlich toll, da ich sehr an Komplexen Zahlen interessiert bin. Ich möchte ihnen aber natürlich auch nicht unnötig mühe machen. (=