Wie beweise ich eine vollständige Induktion im Produkt?
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn sich jemand mit dem Thema Induktion auskennt und mir einen Lösungsansatz zu der Aufgabe aus dem Anhang geben kann.
Ich habe beim Induktionsschluß aufgegeben. Undzwar an der Stelle: <= n^(n(n+1/2))(n+1)^2
In Worten: Nach dem Einsetzen der Induktionsvorraussetzung hab ich absolut keine Ahnung wie ich weitermachen soll
4 Antworten
Nach Multiplikation beider Seiten mit (n + 1)² steht rechts (n + 1)² ∙ n^(n² + 0,5n).
Es gilt (n + 1)² ∙ n^(n² + 0,5n) < (n + 1)² ∙ (n + 1)^(n² + 0,5n) =
(n + 1)^(n² + 0,5n + 2) < (n + 1)^(n² + 2,5n + 1,5)
{weil n² + 0,5n + 2 < n² + 2,5n + 1,5 für n > 0,25}
= (n + 1)^[(n + 1)(n + 1,5)] q.e.d.
Ich frage mich gerade wieso du bei " (n + 1)² ∙ n^(n² + 0,5n) < (n + 1)² ∙ (n + 1)^(n² + 0,5n) " auf der rechten Seite der Ungleichung (n + 1)^(n² + 0,5n) statt wie links n^(n² + 0,5n) eingefügt hast.
Mit anderen Worten: Warum ist dort das (n+1) in der Basis?
Es ist n < n + 1 , daher auch n^(n² + 0,5n) < (n + 1)^(n² + 0,5n) und damit komme ich dann zum gewünschten Ergebnis.
jetzt verstehe ich den Hintergedanken. Es gab die volle Punktzahl darauf, danke nochmals.
Du kannst aus der rechten Seite zwei Faktoren mit den jeweiligen Exponenten bilden. Also einmal n^2 als ersten Exponent und einmal n*1/2 als zweiten Exponent.
Ich hab deine Antwort erst missverstanden. Zwei Faktoren kann ich daraus nicht bilden, weil die Exponenten nicht addiert, sondern multipliziert werden.
Ich könnte höchstens n^n^(n+1/2) schreiben. Das macht das ganze aber eher komplizierter. Oder hab ich wieder einen Denkfehler?
Achso du meisnt indem ich die Klammer ausmultipliziere.
Zu zeigen ist ja aber, dass diese Gleichung kleiner, oder gleich (n+1)^[(n+1)*(n+1,5)], also der Induktionsbehauptung ist.
Wie ich das mache ist mir immer noch ein Rätsel.
Tip: Benutze Stirlings Formel, dann hast du P(k²) = k!² <= en(n/2)^2n, das musst du jetzt noch weiter nach oben abschätzen, dann kommst du auf das richtige Ergebnis.
LG
Danke für die Antwort.
Von der Formel höre ich jetzt zum ersten mal. Wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen.
Ist das mit der Formel möglich?
Ja, Stirlings Formel lässt sich immer weiter präzisieren, eine sehr lasche Form ist k! <= e sqrt(n)(n/e)^n, das ganze lässt sich etwas besser abschätzen mit dem, was ich verwendet habe für k!², die Ungleichung die du aber sofort bekommst durch einsetzen, die ich dir oben hingeschrieben habe, ist viel stärker als die, die du zeigen sollst, du musst also nur sehr einfache Abschätzungen nach oben verwenden. Darf ich fragen, welches Semester/welche Vorlesung das ist? Vielleicht darfst du die Stirling-Formel noch garnicht verwenden.
Das ist eine Aufgabe aus einem Mathevorkurs vor dem 1. Semester.
Wozu Induktion? Englisch für alle sprachlichen Probleme und Induktion für alle mathematischen Probleme: an die Probleme in der Welt mit einem einzigen Werkzeug heranzukommen ist alles andere als effektiv oder passend.
Hier mein Ansatz:
Schritt 1. Man forme um: ∏ k² = (∏ k über k mit 1≤k≤n)² ≤ (∏ n über k mit 1≤k≤n)² = (n^n)² = n^(2n).
Schritt 2. Es reicht aus, lediglich zu zeigen: 2n ≤ n(n+1/2) für genügend großes n und die Ungleichung explizit zu zeigen für alle anderen Werte.
Schritt 3. Für n ≥ 2 gilt 2n ≤ n·n < n(n+1/2). Also muss man nur die Ungleichung zeigen für n=1. Dies gilt, da ∏ k² über k mit 1≤k≤1 = 1 = 1^(1·(1+1/2)).
Schritt 4. Daher ∏ k² über k mit 1≤k≤n ≤ n^(n·(n+1/2)).
Q.e.d.
Vielen Dank!