Habe eine Aufgabe zur Vollständigen Induktion in Mathe bekommen, kann sie vielleicht jemand lösen?

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4 Antworten

Ich hatte jetzt nicht sonderlich Lust, die Lösung selber zu formulieren.

Schaue mal hier:

https://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiThp3h0oPKAhUDJnIKHbTgCw4QFgguMAE&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uni-hamburg.de%2Fhome%2Fposingies%2FVorkurs%2FAufgabenBeweiseLsg.pdf&usg=AFQjCNGEZmf0jqDsTS24BMAY1f7H69s1kg

Aufgabe 10:
Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis:
Behauptung: In einer Gruppe von Tieren in der ein Elefant ist, sind alle Tiere Elefanten. 

Beweis: Wir werden die Behauptung mittels Vollständiger Induktion über die Anzahl n der Tiere in der Gruppe beweisen.

Induktionsanfang n = 1: Eine Gruppe von einem Tier in der ein Elefant ist, besteht nur aus einem Elefant, also nur aus Elefanten.
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung ist für Gruppen mit n Tieren bewiesen.
Induktionsbehauptung: Eine Gruppe von n + 1 Tieren, in der ein Elefant ist, besteht nur aus Elefanten.
Induktionsschritt: Haben wir nun eine Gruppe mit n+1 Tieren in der ein Elefant ist.

Nun nehmen wir ein Tier aus der Gruppe (nicht den Elefanten). Die verbleibende Gruppe besteht aus n Tieren, von denen eines ein Elefant ist. Nach Induktions-vorraussetzung besteht diese Gruppe nur aus Elefanten. Nun tun wir das vorher weggenommene Tier wieder hinzu und entfernen dafür ein anderes. Wieder erhalten wir eine Gruppe mit n Tieren von denen mindestens eines ein Elefant ist. Also sind auch hier alle Tiere Elefanten. Insgesamt sind also alle Tiere Elefanten. 


Lösung: Der Induktionsschritt geht von 1 auf 2 nicht gut. Bei nur zwei Tieren können wir nicht zweimal nicht den Elefanten wegnehmen und somit die Induktions-voraussetzung nicht anwenden.

Lg, becks2594

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Ich meine, der Beweis ist schon vorher ad sbsurdum geführt.
Ein Gegenbeispiel reicht ja bekanntlich, um die Allgemeingültigkeit eines Beweises zu erschüttern.

Setze ich also voraus, dass es stimmt, dass es n Elefanten sind, wenn nur einer da ist, folgt aus dieser Induktionsvoraussetzung, dass es für jedes n gilt, also auch für (n+1).
Habe ich aber gerade ein Nashorn zu der Herde getan, ist ja zweifellos ein Nicht-Elefant in der Herde. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Damit ist die ursprüngliche Aussage hinfällig. Man kann eben nicht aus der Anwesenheit eines Elefanten schließen, alle seien welche.

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Kommentar von becks2594
30.12.2015, 14:47

Guter Ansatz!

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Kommentar von DepravedGirl
30.12.2015, 22:21

Genau !

Wenn 7 Ziegen da sind und 1 Elefant da ist, also 8 Tiere insgesamt, dann bleiben es trotzdem 7 Ziegen, auch wenn der eine Elefant da ist.

Ich bezweifle, dass der Elefant aus Ziegen echte Elefanten machen kann, so dass hinterher alle 8 Tiere Elefanten sind.

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Ich bin mir zwar nicht sicher...aber ich vermute ,dass der Fehler darin liegt, dass n =1 (hast du gesagt?) Und n +1 (2) nicht das selbe sind . 

Ich hoffe Ich konnte dir ein wenig weiter helfen *Strebermode off* *-*

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Hast du denn schon versucht, eine Lösung zu finden? Deine Hausaufgaben mußt du nämlich - wie deine Mitschüler auch - alleine machen. Poste uns mal deinen Lösungsversuch, damit wir deine Eigenleistung sehen.

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Kommentar von Roleandon
30.12.2015, 12:42

Ich kann dir die Lösung sogar sagen aber die versteh ich auch nich: lösung: Im Fall n+1=2 kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n=1 tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter dem ersten n=1 tieren elefanten. Aber deshalb befinden sich unter den "letzten" n tieren nicht notwendig elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n >= 2, Induktionsanfang ist aber n=1. man müsste also zeigen, dass von 2 tieren, von denen eines ein elefant ist, auch das andere ein Elefant ist. Aber das wird schwer... Der eigentliche Fehler des "Beweises" liegt darin dass (n+1)/2 nicht immer größer als 1 ist. Wenn wir uns n+1 Dinge in einer Reihe vorstellen, dann sehen wir vor unserem inneren Auge eine lange Reihe mit 1000 tieren. Aber eine Reihe kann auch aus 2 tieren bestehen. Dafür gilt der vermeintliche Induktionsschluss nicht. das ist die Lösung. ... Meine "Eigenleistung" ist nur dazu gekommen, dass eigentlich alle Tiere elefanten sein müssten nach der Aussage. ... die lösung kann ich auch nicht machvollziehen, weiss auch nicht wie die auf (n+1)/2 kommen

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