Wie bestimmt man mit hilfe 2 Höhen und 2 Breiten einen Koordinatensystem und die dazugehörigen Funktionsgleichungen?
Guten Abend,
Ich weiß dass es sehr spät ist aber ich komme grade bei einer Matheaufgabe (Thema: Quadratische Funktionen) nicht klar.
Wir haben hier eine Textaufgabe bekommen, wo wir die Form des inneren und äußeren Blgens einer Brücke berechnen müssen. Die Aufgabenstellung war: "Bestimmen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die zugehören Funktionsgleichungen an." Und ich verstehe das garnicht wie ich mit 2 Höhen und Breiten die Funktionsgleichung am ende bestimmen sollte...
Maße des äußeren Bogens: Höhe= 192m und Breite= 192m
Maße des inneren Bogens: Höhe= 187m und Breite= 163m
Kann mir bitte jemand helfen und mir die Vorgehensweise erklären?😭
Danke im vorraus.
Nr. 38
3 Antworten
Rekonstruktion:
ax² + bx + c = y
Koordinatensystem:
Die x-Achse ist der Boden, die y-Achse geht mittig durch den höchsten Punkt der beiden Bögen.
Gegebene Punkte:
- (0, Höhe)
- (Breite/2, 0)
- (-Breite/2, 0)
Drei Gleichungen, drei Unbekannte. Viel Spaß!
Das soll nicht Breite und 2,0 heißen sondern, Breite/2 und 0. Der x-Wert ist also die halbe Breite und der y-Wert ist Null.
Und es gibt ja einmal Breite/2,0 und -Breite/2,0... soll ich da in beiden Breitwn die gleichen Breiten eingeben oder verschiedene?
Schläfst Du eigentlich auch irgendwann mal? 😅
Für Breite und höhe setzt Du einfach immer exakt die Werte aus der Aufgabenstellung ein.
Zu diesem "Gateway Arch" in Saint Louis:
Der Architekt nahm da mit definitiver Absicht keine gewöhnliche Parabel als Vorbild, sondern eine Kettenlinie !
Daraus eine Aufgabe zur "normalen" Parabel zu machen, finde ich (als Mathematiker) ziemlich daneben !
Wenn schon, dann müsste man dann auch die Abweichungen der Näherungsparabel(n) von der/den Kettenlinie(n) ins Auge fassen !
Ich weiß ja nicht, aber Kettenlinie würde ich nicht in der 8. Klasse unterrichten wollen, Parabeln schon ^^
Aber ja, das Bild hätte man ersetzen können.
Skizze, wie man den Bogen in ein Koordinatensystem einzeichnen könnte. Hier sind 2 Möglichkeiten. Die beiden sind in keinster Weise Maßstabsgetreu, bitte nicht von der Beschriftung der Koordinatenachsen irritieren lassen, die Skizze dient nur zur Orientierung.
Ich betrachte auch nur den äußeren Bogen.
Wenn man die beiden Parabeln so sieht, sieht man, dass sie nach unten geöffnet sind. Die allgemeine Form für eine Parabel lautet: f(x) = ax² .... Der Faktor a sagt etwas über die Öffnung der Parabel aus. Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, ist a negativ. nach unten.
Beide Parabeln sind nach unten geöffnet, a ist in beiden Fällen negativ.
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Die grüne Parabel [im folgenden gP genannt und die Funktionsgleichung zu ihr entsprechend g(x)] ist nur nach oben verschoben, aber nicht "seitlich". Die Form für so eine Parabel lautet:
g(x) = ax² + c
Hier muss man also a und c bestimmen.
Das Maximum der gP ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Die x-Koordinate ist 0, (0∣y-Wert). Der y-Wert dieses Punktes ist hier 192, da der Bogen so hoch ist, (0∣192).
Wenn man diese Punkte in die allgemeine Form von g(x) einsetzt:
g(x) = ax² + c
x = 0 und y (oder g(x))= 192
192 = a*0² + c
a*0² ist 0, kann man weglassen und so erhält man
192 = c
Damit ist c bestimmt:
g(x) = ax² + 192
Jetzt die Bestimmung von a:
Hierfür benötigt man einen weiteren Punkt der Parabel, setzt diesen in die allgemeine Form ein und berechnet a. Als weiterer bietet sich eine der Nullstellen an. Deren Koordinaten kann man bestimmen. Der y-Wert der Nullstellen ist 0, (x-Wert∣0). Die Nullstellen (die äußeren Fußpunkte des Bogens) liegen 192 m auseinander. Beide Nullstellen liegen 192/2 = 96 vom Hochpunkt entfernt, einmal im positiven Bereich der x-Achse bei +96 und einmal im negativen Bereich bei -96. Die Nullstellen haben die Koordinaten (96∣0) und (-96∣0).
Einen dieser Punkte (ich nehme (96∣0) setzen wir in g(x) ein
0 = a*96² + 192
Damit kann man a bestimmen. a ist erwartungsgemäß negativ.
Damit sind a und c bestimmt, g(x) ist vollständig.
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Jetzt die rote Parabel [rP, und r(x)]
Die allgemeine Form einer Parabel:
f(x) = ax² + bx + c
Hier bestimmen wir drei Punkte der Parabel, setzten diese jeweils in die allgemeine Form ein, erhalten ein LGS und bestimmen a. b und c.
Drei Punkte wäre auch hier die Nullstellen und der Hochpunkt.
Die erste Nullstelle liegt bei (0∣0)
Die zweite Nullstelle liegt bei (192∣0)
Der Hochpunkt bei (96∣192)
Einsetzen der ersten Nullstelle, x = 0, r(x) = 0
0 = a*0² + b*0 + c
0 = c
damit ist c bestimmt, r(x) hat also nur noch folgende Form:
r(x) = ax² + bx
Jetzt die zweite Nullstelle(192∣0) und den Hochpunkt (96∣192) einsetzen:
0 = a*192² + b*192
192 = a*96² + b*96
a und b sollten bestimmbar sein.
Woher kommt die 2.0?😅