Wie berechnet man den durchschnittlichen Abstand?
Moin,
ich habe gerade diesen Artikel über das Projekt "The Line" in Saudi-Arabien gelesen.
Die Autoren schreiben, dass der durchschnittliche Abstand zweier zufällig ausgewählter Bewohner in der 170 km langen Stadt 57 km beträgt. Das ist etwa ein Drittel.
Würde man für diese Alternativvariante die gleiche Fläche von 34 Quadratkilometern vorsehen, hätte der Kreis einen Radius von nur 3,3 Kilometern. Die durchschnittliche Entfernung zwischen zwei Personen würde 2,9 Kilometer betragen.
Habe gerade ein Brett vorm Kopf. Wie berechnet man den durchschnittlichen Abstand zweier Punkte auf einer bestimmten Fläche? Und wie kommt man bei einer Linie auf ein Drittel?
1 Antwort
Hallo.
The Line wurde wohl so genannt, eben weil die Stadt in einer Linienform gebaut werden soll. Was die Distanz zweier zufällig ausgewählter Punkte auf einer Linie betrifft, so lies mal hier:
probability - Average Distance Between Random Points on a Line Segment - Mathematics Stack Exchange
Bei einem Kreis beträgt die zufällige Distanz hingegen wohl
E(d) = 128r/45π
was sich mit dem Kosinussatz herleiten lassen soll:
E(d) = (1 / (πR²))2 ∫∫∫∫ √(r1^2 + r2^2 - 2r1r2cos(θ1 - θ2)) dr1 dr2 dθ1 dθ2
wobei die Integration von 0 bis R für r1 und r2 und von 0 bis 2π für θ1 und θ2 erfolgt.
calculus - Derivation: Average distance from point to circle - Mathematics Stack Exchange
128r/45π = 2,9
128r = 2,9 * 45π
r = 2,9 * 45π / 128
r ~ 3,2
Wenn wir die 34 km² mal in die Kreisflächen-Formel einsetzen und nach r auflösen:
r² = 34/π
r = Wurzel(34/π)
r ~ 3,28976
Wenn wir das r von 3,3km in die Distanzgleichung einsetzen:
d = 128*3,3/45π
d ~ 2,988
Wodurch die Diskrepanz von 88 Metern entsteht kann ich nicht beantworten. Entweder ist die Angabe von 2,9km (bewusst) abgerundet oder das Integral bzw. und/oder das Ergebnis des Integrals waren nicht ganz korrekt.
Ich habe weder das Integral aufgestellt, noch habe ich es berechnet, sondern ganz frech kopiert. 😉Allerdings ist es extrem unwahrscheinlich, dass die Formel eigentlich falsch ist und nur rein zufällig ein fast richtiges Ergebnis geliefert hat, daher 🤷♂️...
Wenn man von deiner Referenz ein bisschen weiterspringt, kommt man über dieses: https://math.stackexchange.com/questions/22937/finding-the-mean-distance-between-n-points-evenly-distributed-in-a-disc-of-radiu auf diesen Artikel von der Uni Münster: https://web.archive.org/web/20160804004830/http://www.math.uni-muenster.de/reine/u/burgstal/d18.pdf
Da sind die Zusatzfragen "(oder ein Quadrat, Rechteck, ...)" gleich mit erschlagen.
Ich glaube, ich muss mich einfach damit abfinden, dass mein mathematischer Horizont begrenzt ist :-)
Ich glaube, ich muss mich einfach damit abfinden, dass mein mathematischer Horizont begrenzt ist :-)
Wessen nicht? 😉
Danke. Die Herleitung auf der Linie leuchtet sofort ein. Für die Kreisfläche (oder ein Quadrat, Rechteck, ...) brauche ich noch etwas.
Probleme lösen, die man vorher nicht hatte ...