Wie berechne ich die Fläche einer Parabel?
Wir sollen die Fläche einer Parabel berechnen. Sie hat unten eine Breite von 4 Metern und eine Höhe von 4, 8 Metern. Die Funktion sollte doch ax^2+bx+c lauten oder? Allerdings komme ich dann nicht weiter
2 Antworten
Eine Parabel selber hat keine Fläche. Meinst du vielleicht die Fläche, die von der Prabel und der x-Achse eingeschlossen wird? Falls ja: stelle zunächst die genaue Funktionsgleichung auf und integriere dann von der ersten Nullstelle zur zweiten.
Für die Funktionsgleichung: ja, die Funktion lautet f(x) = ax^2+bx+c, für die Fläche zwischen x-Achse und Parabel spielt die Verschiebung der Prabel in Richtung der x-Achse keine Rolle, du kannst also davon ausgehen, dass die Parabel bei P(0,0) eine Nullstellle hat (du könntest auch jeden anderen Punkt auf der x-Achse als Nullstelle nehmen, aber dann musst du mehr rechnen ;)
Die Parabel ist unten 4m breit, also hast du noch eine Nullstelle bei Q(4,0). Die Höhe ist 4,8 m. Da die Parabel symmetrisch ist, tritt die höchste Stelle bei x = 2 auf --> S(2, 4.8). Jetzt hast du drei Punkte, damit kannst du die Funktionsgleichung aufstellen und dann integrieren.
Wenn du noch ne Frage hast kannst du gerne nachfragen :)
Die Parabel selbst als Kurve hat weder eine definierte Breite noch eine definierte Höhe, da sie sich von ihrem Scheitelpunkt aus unendlich ausdehnt.
Du meinst zweifellos einen 4m breiten und 4,8m hohen Abschnitt einer Parabel, ich nehme an, dass er achsensymmetrisch in soll.
Daher ist sie Graph einer Funktion der Form
f(x) = ax²,
(b=c=0, wenn nichts anderes gesagt wurde) im Intervall von -2m bis 2m, wobei
f(-2m) = f(2m) = 4,8m
ist; a ist also 1,2/m.
Jetzt stellt sich die Frage, ob Du die Fläche zwischen Parabelabschnitt und x-Achse oder die in dem Parabelabschnitt meinst. Letztere wäre die Fläche des Rechtecks mit den Eckpunkten A(-2m|0m), B(2m|0m), C(2m|4,8m) und D(-2m|4,8m) minus der ersteren Fläche, die wir also in jedem Fall brauchen.
Die berechnet man durch Integration, und dafür brauchen wir die Stammfunktion von f(x), die gern als F(x) bezeichnet wird. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt uns nämlich, dass
∫_[x₁]^{x₂} f(x) = ∫_[x₁]^{x₂} F'(x) = F(x₂) – F(x₁),
wobei hier x₁=-2m und x₂=+2m sind. Nun brauchen wir F(x), und gemäß den Ableitungsregeln ist
(x³)' = 3x²,
sodass
F(x) = ⅓ax³ = (0,4/m)x³
sein muss. Dabei komme ich auf 12,8m².
Das o.g. Rechteck hat eine Fläche von 19,2m², sodass in dem Parabelabschnitt 6,4m² übrigbleibt.
Mir fällt gerade auf, dass Du auch mit
a=-1, 2/m, c=4,8m
direkt das Innere des Parabelbogens hättest berechnen können. Das wäre jedoch auf dasselbe hinausgelaufen, auch in Hinblick auf die Subtraktion.