Wie berechne ich das „Integral“ einer „Funktion“ ohne Funktionsvorschrift?

Ich möchte die (/eine) Funktion f(x) finden; die aus der g(x) [Ableitung von f(x)] so entsteht:

$g\left(x\right)=f\left(x+1\right)-f\left(x\right)$

Wobei die Definitionsmenge beider Funktionen die natürlichen Zahlen sind. Die Hinrichtung f(x) zu g(x) ist leicht zu berechnen, Beispiel {ignoriert einfach mal, dass das hier eigentlich die Mengenschreibweise wäre, sind keine, links f(x) geordnet, rechts g(x) geordnet}:

$\left\{2,3,4,7,3,4,6,0,0,...\right\}->\left\{1,1,3,-4,1,2,-6,0,...\right\}$

Andersherum wird es irgendwie schwieriger … Schlimmer wirds, wenn f(x) sowie g(x) keine richtigen Funktionen sind, bei einer endlichen Zahlenreihenfolge, (daher füge ich am Ende jeder endlichen Zahlenfolge unendlich viele Nullen als weitere Funktionswerte hinzu.) Ich zeige mal wieso:

Also, ich beginne einfach mal damit, die Formel für g(x) nach f(x) umzustellen, um das hier zu sehen:

$f\left(x\right)=f\left(x+1\right)-g\left(x\right)$ Da aber nur g(x) bekannt sind, darf diese „Formel“ nicht von f(x) abhängig sein. Allerdings führe ich diese Rekursion einfach mal fort, da ich weiß, dass das in unserem Beispiel irgendwann ein Ende hätte. Wir haben also:

$f\left(x\right)=f\left(x+1\right)-g\left(x\right)=f\left(x+2\right)-g\left(x+1\right)-g\left(x\right)=f\left(x+3\right)-g\left(x+2\right)-g\left(x+1\right)-g\left(x\right)=...$ $f(x)=f(x+a)−\sum_{k=0}^a​g(x+k)$

Man sieht das Problem, oder? Wenn die Funktion irgendwann abflacht, dann steht bei f(x+a) irgendwann 0, wie bei meinem Beispiel. So könnte man a in die Unendlichkeit drücken, und würde f(x) bekommen, oder? Berichtigt mich gerne, wenn ich ein Fehlerchen eingeschlichen habe. Was aber, wenn das nicht passiert? Was macht man, wenn die Funktion g(x) ewig so weiter geht? Vor allem mit einem Computer? Wie berechnet man das von hinten, wenn kein Ende gibt?

Was sind eure Gedanken dazu?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Wie beim Integrieren gibt es auch hier eine Konstante, die beliebig sein kann. Zu der Folge der Differenzen braucht man noch einen Wert, um die Folge eindeutig festzulegen. Man kann f bei gleichem g immer um eine Konstante verschieben.

Comments

[NeonSchaf]

Ja das ist klar. Zur Einfachheit erstmal 0 oder irgendein fab c

Answer 2

[TBDRM]

Die Summationsindex darf nur bis a–1 gehen.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[NeonSchaf]

Stimmt. Und sonst?

[TBDRM]

@NeonSchaf

Für g erhälst du das Integtal von x bis a–1 und damit f(x) – f(a–1) - hier weiß ich allerdings nicht, ob das so einfach geht, da der Definitionsbereich kein Intervall ist.

Umgeformt erhälst du f(a–1) = f(a+1).

Das ist schonmal eine Symmetrieeigenschaft.

Answer 3

[J0T4T4]

Ich verstehe das Problem vermutlich nicht. Warum willst du das überhaupt von hinten berechnen, wenn das Ende noch nicht einmal bekannt ist?

Grundsätzlich haben wir einfach nur

f(k + 1) = f(k) + Δf(k)

Das ist eine einfache rekursive Vorschrift, wie wie in Simulationen regelmäßig auftaucht. Wenn wir uns jetzt für einen Zeitraum von k + 1 bis k + n interessieren und f(k) als Anfangsbedingung sowie ΔF(k...k+n-1) gegeben sind, dann kann man das als Matrix schreiben:

F(k+1...k+n) = F(k) + L ΔF(k...k+n-1)

Wobei

• F(k+1...k+n) der Ergebnisvektor ist, der alle Werte von f in dem Bereich enthält
• F(k) = (f(k), ..., f(k)) ein Vektor mit der Anfangsbedingung
• L eine untere 1-Dreiecksmatrix
• ΔF(k...k+n-1) der Vektor der Änderungen (Δf(k), Δf(k+1),...,Δf(k+n-1))

ist.

In deinem Beispiel musst du f(k) = 2 setzen, dann bekommst du auch wieder dein f für dein gegebenes g.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – MATHEMANN zur Rettung!