Wertverlust Auto?

Hallo,

In einer Matheaufgabe wird gesagt, dass wenn man davon ausgeht ,dass der Verkaufswert eines Autos um den gleichen Prozentsatz sinkt, dann kann man ihn mit einer exponentiellen Gleichung darstellen.

Nach vier Jahren ist der 15000€ und nach 6 Jahren 11600€ Wert. Wie teuer war es bei der Anschaffung?

Wie kommt man da auf ne Gleichung und weiß den Prozentsatz?

Mfg

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

sei A der Neuwert des Autos, p der Prozentsatz, um den der Wert des Autos pro Jahr sinkt, und W(t) der Wert des Autos als Funktion der Zeit t (in Jahren).

Man kann folgende zwei Gleichungen aufstellen:

$W\left(4\right)=A\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)^4\ =\ 15.000$

$W\left(6\right)\ =A\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)^6\ =\ 11.600$

Division (beider Seiten) von Gleichung 2 durch Gleichung 1 ergibt

$\left(1-\frac{p}{100}\right)^2\ =\ \frac{11.600}{15.000}$

$1-\frac{p}{100}=\sqrt{\frac{58}{75}}$

$-\frac{p}{100}=-1+\sqrt{\frac{58}{75}}$

daraus folgt

$p\ =\ 100-100\cdot\sqrt{\frac{58}{75}}\approx12,06$

Wir setzen p ein in die erste Gleichung W(4) = ...

$A\cdot\left(1-\frac{12,06}{100}\right)^4\ =\ 15.000$

$A\cdot0,8794^4\ =\ 15.000$

$A=\frac{15.000}{0,8794^4}\ \approx25.081$

Antwort:

Das Auto verliert 12,06 Prozent seines Neuwertes pro Jahr.

Der Neuwert betrug 25.081 Euro

Gruß

Comments

[eddiefox]

P.S. Die Wertfunktion W lautet

W(t) = A • (1 - p/100)ᵗ , also

W(t) = 25.081 • (1 - 12,06/100)ᵗ = 25.081 • 0,8794ᵗ