Wert einer Summe?

$\sum_{k=2}^∞-\frac{3}{\left(2k\right)^2}$

Hallo,

kann mir jemand sagen, wie man den Wert dieser Summe berechnet? Ich komme nicht darauf, wie man die 2 aus dem Nenner zieht, sodass ich eine geometrische Reihe erhalte.

Danke

Answer 1

[eterneladam]

Das ist keine geometrische Reihe.

Wenn das wirklich ein Minus ist, unter der Summe, dann

.... = -3/4 ( Summe( k=1; unendlich; 1/k^2 ) - 1 )

= -3/4 ( Pi^2 / 6 - 1)

Answer 2

[LoverOfPi]

Das hat mit einer geometrischen Reihe nichts zu tun, aber schau dir mal diese Umformungen an:

$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{-3}{\left(2k\right)^2}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{-3}{4\cdot k^2}=-\frac{3}{4}\cdot\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ Das formen wir wiederum um zu:

$=-\frac{3}{4}\cdot\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}-1\right)$ Die unendliche Summe ist das Basler Problem, dessen Lösung Euler bereits im 18. Jahrhundert als

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ herausfand

Damit gilt:

$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{-3}{\left(2k\right)^2}=-\frac{3}{4}\left(\frac{\pi^2}{6}-1\right)=-\frac{\pi^2}{8}+\frac{3}{4}$

Answer 3

[bmke2012]

Na, denn:

(2k)² = 2² * k²