Welche Zahl hat acht Teiler insgeheim die 1 und sich selber?
Matheaufgaben
3 Antworten
Wenn die Zahl n die Primzahlzerlegung
hat, wobei p_i die i.te Primzahl und k_i dessen Vielfachheit ist, dann ist die Anzahl der Teiler gleich
Wir wollen das am Ende 8 Teiler rauskommen.
Da 8=2*4=2*2*2=2*4 gilt,
hast du folgende Möglichkeiten für deine Zahl mit 8 Teilern:
p_1*p_2*p_3 (z.B 2*3*5=30)
p_1^3*p_2 (z.B 2^3*3 = 24)
p_1^7 (z.B 2^7 = 128)
Wobei p_1, p_2 und p_3 unterschiedliche Primzahlen sind, die du frei wählen kannst.
Vielleicht noch als Anmerkung wie man auf 30 kommt. Im Grunde sind die Teiler einer Zahl einfach ein Produkt von Potenz der Primfaktoren. Als Beispiel kannst du dir ja mal die genannten Teiler von 30 anschauen. Daher suchen wir nun eine Zahl für die es nur 8 mögliche Produkte von obiger Form gibt. Starten wir mal mit zwei Primzahlen p und q. Dann hat x=pq 4 Teiler. 1,p,q,pq. Zu wenig. Probieren wir es mal mit x=p^2q. x besitzt dann als Teiler 1,p,q,pq,p^2q. Auch zu wenig. Vielleicht probieren wir es mal mit 3 Primfaktoren. Also x=pqr, wobei p,q und r verschiedene Primzahlen sind. Hier sind die Teiler 1,p,q,r,pq,pr,qr,pqr. Wir haben also eine Zahl mit 8 Teilern gefunden. Für ein konkretes Beispiel müssen wir also nur konkrete Primzahlen einsetzten. Im Fall von 30 wären das 2,3 und 5.
Mit dieser Methode (und etwas Kombinatorik, falls dir das ein Begriff ist) kannst du auch für andere Werte als 8 Zahlen finden, die genau so viele Teiler besitzen.
Einfach 1*2*3*5 multiplizieren = 30; Teiler sind 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 und 1.
30: 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1 ergeben sich 8 Teiler inklusiv sich selber