Was muss gelten damit sich zwei Graphen der Stelle x schneiden?
Hallo, ich hab bald mündliche Prüfung in Mathe und der Lehrer hat uns fragen gegeben die dran kommen könnten. Unter anderem die Frage oben. Ich hab zwar eine Vermutung was die Antwort sein könnte jedoch bin ich mir nicht sicher.. und im Internet konnte ich nichts dazu finden. Zudem gibt es noch die fragen: was muss gelten damit sich zwei Graphen an der Stelle x berühren oder senkrecht schneiden.
Danke im Voraus!
4 Antworten
Sie müssen den Punkt erst mal gemeinsam haben.
Das heißt, wenn du den gegebenen x-Wert in die beiden Gleichungen
einsetzt, muss der gleiche y-Wert rauskommen.
Damit sie sich berühren, müssen die Steigungen der beiden Graphen,
also die erste Ableitung, an der Stelle x gleich sein.
Damit sie sich senkrecht schneiden, müssen die Steigungen
senkrecht aufeinander stehen. Wenn der eine Graph die
Steigung m1 hat, muss der andere m2 = -1/m1 haben.
Damit sich die Graphen von zwei Funktionen f(x) und g(x) an der Stelle x schneiden oder berühren, muss immer gelten:
f(x) = g(x)
(Diese Forderung kann man auch benutzen, um das entsprechende x zu berechnen: man setzt einfach beide Funktionsgleichungen ein und stellt nach x um.)
Sollen sich beide Graphen "nur" berühren (nicht schneiden), so müssen sie an dieser Stelle die gleiche Steigung haben, d. h. die Ableitungen müssen an der Stelle übereinstimmen.
Für das ermittelte x muss also zusätzlich gelten:
f'(x) = g'(x)
Sollen sich beide Graphen senkrecht schneiden, so müssen die Steigungen m1 und m2 an dieser Stelle die Bedingung m1 = -1/m2 erfüllen.
Für das ermittelte x muss also gelten:
f'(x) = -1/(g'(x))
x und y müssen übereinstimmen.
Gewöhnlich löst man dies durch Gleichsetzung für x
und setzt das x dann in eine der Funktionen ein.
Das reicht für y, denn das andere muss das gleiche sein.
Berührung: die Steigung (1. Ableitung) muss gemeinsam sein.
Senkrechte: Steigung der einen Funktion gleich (- 1 / Steigung der anderen).
m₁ = -1/m
Hast du den Zusammenhang zwischen den Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen und der Funktionsgleichung verstanden?