Was ist eine Funktion (Mathematik)?
Was ist eigentlich eine Funktion in der Mathematik? Kann man dies irgendwie für Kinder leicht, einfach und verständlich erklären?
Und wie ist eigentlich eine Funktion aufgebaut, und welche Aufgabe hat eine Funktion. Welche Funktionen gibt es alles?
Bitte alles für Kinder leicht erklären
Danke im Voraus. LG😉
2 Antworten
Was eine Funktion ist, kann man auf verschiedenen Ebenen der Schwierigkeit erklären:
Ebene 1Eine Funktion ist im Prinzip eine mathematische Vorrichtung, in die man bestimmte Werte hineinstecken kann und die dann je nach Eingabe ein Ergebnis ausgibt. Dabei kommt bei derselben Eingabe auch immer ein und dieselbe Ausgabe heraus.
Beispiele für Funktionen:
Eingabe: Jahr --> Ausgabe: durchschnittliche Einwohnerzahl von Hamburg in diesem Jahr
Eingabe: Zahl --> Ausgabe: Zahl + 5
Eingabe: Menge von Zahlen --> Ausgabe: die kleinste Zahl in der Menge
...
Ebene 2Eine Funktion ist eine mathematische Vorrichtung, die für eine bestimmte Eingabe nach einer bestimmten Rechenvorschrift ein Ergebnis ausgibt. Sie bildet also eine Eingabe auf eine Ausgabe ab. Man notiert sie zum Beispiel wie folgt:
Weitere Beispiele für Funktionen:
Ebene 3Funktionen sind spezielle Relationen. Eine Relation trifft eine Aussage darüber, ob zwei Werte in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen. Heißt meine Relation zum Beispiel ≽ und stehen x und y in dieser Relation zueinander, so schreibt man x ≽ y.
Funktionen sind nun Relationen, die rechtseindeutig sind, d. h., für jeden Wert
auf der linken Seite kann es nur einen Wert auf der rechten Seite geben. Wenn also zum Beispiel 3 ≽ 5 gilt, kann nicht auch 3 ≽ 8 gelten. Dann kann man statt 3 ≽ 5 schreiben f(3) = 5 und man hat eine Funktion, die für jeden Wert genau eine Ausgabe hat.
Ebene 4Funktionen sind spezielle Relationen. Relationen sind Mengen von geordneten Paaren. Eine Funktion f ist eine rechtseindeutige Relation, d. h., wenn (a, b) ∈ f, und (a, c) ∈ f, dann gilt b = c. Statt (a, b) ∈ f schreibt man f(a) = b.
Eine Funktion ist nichts weiter wie eine Gleichung mit mindestens einer Variablen. Z.b.
f(x) = 2 x
Sie ( die Funktion) ergibt damit eine "Kurve", in einem Koordinatensystem einfach eine Gerade ergibt.
Oder:
f(x) = 2x + 5
Oder
f(x) = x hoch 2
Das wird dann eine gebogene Linie.
Für alle Beispiele gilt: Das Ergebnis ist abhängig von x . Mehr sagt "Funktion" nicht aus.
Oft lässt man den Begriff Funktion weg und scheibt
y = 2 x usw. Der wertb von y ist also abhängig, eben eine Funktion von x.
Komplizierter wird es mit zwei Variablen.
f(x,z) = 25x / z
Auch das ist eine Gleichung.
Hier habe ich nur die Grundrechenarten benutzt. Integralrechnung hattest du noch nicht, auch das kann zu einer Funktion, einer Rechenvorschrift gehören.
Zumindest stimmt das im Bereich der Schulmathematik. Funktionen können aber auch mehr als das sein.