Was ist ein Ergebnis/Ereignis/Gegenereignis/Ergebnismenge/Ereignismenge?
Ich verstehe irgendwie den Unterschied davon nicht.
Kann mir das jemand erklären?
Danke im Vorraus.
2 Antworten
Die Ergebnismenge ist die Menge aus allen möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Das Komplement eines Ereignisses in der Ergebnismenge nennt man Gegenereignis. Ereignis und Gegenereignis sind disjunkt, d.h. sie enthalten keine gemeinsamen Elemente und die Vereinigung ist die gesamte Ergebnismenge.
In der Schule sind Ergebnismengen endlich und jedem Element wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Bei einem Laplace-Experiment wird jedem Element dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeiten in der gesamten Ergebnismenge summieren sich immer zu 1 auf. Darum summieren sich auch die Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis und dessen Gegenereignis zu 1.
Beispiel:
Du würfelst mit einem W6. Die Ergebnismenge ist dann Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Ergebnisse sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Das Ereignis A = {1, 3, 5} ⊆ Ω ist eine Teilmenge von der Ergebnismenge. Das Gegenereignis {2, 4, 6} enthält die restlichen Ergebnisse aus der Ergebnismenge. Es ist {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6} = Ω und {1, 3, 5} ∩ {2, 4, 6} = ∅.
Du kannst Dir die Ergebnismenge wie einen Sack mit Kugeln vorstellen. In diesem Sack befindet sich ein weiterer Sack, in dem sich die Kugeln {1, 3, 5} befinden. Dieser kleinere Sack heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist der Anteil des Gewichts dieses Sackes an dem Gesamtgewicht. Bei einem Laplace-Experiment, wie es beim fairen Würfel der Fall ist, wiegen alle Kugeln gleich viel. Sie könnten aber auch unterschiedlich viel wiegen. Die Ergebnismenge selber ist übrigens auch ein Ereignis, denn {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ist eine unechte Teilmenge. Die leere Menge ist auch ein Ereignis, denn ∅ ⊆ Ω. Bei zwei Würfen hätte die Ergebnismenge 36 Elemente. Jedes Element wäre dabei ein Zahlenpaar, also (1, 1), (1, 2), ... (6, 5), (6, 6). Bei n-Würfen hätte die Ergebnismenge 6ⁿ Elemente mit je einem n-Tupel.
Das sind ja Fachbegriffe aus der Stochastik.
Also wenn es zum Beispiel darum geht ob eine sechs oder keine sechs (also 1,2,3,4 oder 5) bei einem Würfel gewürfelt wird und man bei einer sechs eine Belohnung bekommt, ist die sechs das Ereignis und keine sechs Das Gegenereignis. Die Ereignismenge ist bei deinem Beispiel zwei, weil man entweder eine sechs oder keine sechs würfelt.
Ab hier bin ich mir nicht sicher ob das richtig ist:
Die Ergebnismenge ist dann glaube ich, die nach n Wiederholungen, zusammengezählten Augenzahlen der einzelnen Würfe.
Achso und das Ergebnis ist eine 1,2,3,4,5 oder 6, wenn wir bei diesem Beispiel bleiben.
[...] ist die sechs das Ereignis
Damit der Fragesteller es nicht falsch versteht:
6 ∈ {1,2,3,4,5,6} ist kein Ereignis, sondern ein Ergebnis
{6} ⊆ {1,2,3,4,5,6} ist ein Ereignis
Ein Ereignis ist immer eine Menge.
Die Ergebnismenge bei n Wiederholungen sind die 6ⁿ möglichen Kombinationen. Ein Ergebnis hat dann die Form (ω₁, ω₂, ..., ωₙ), wobei die ωᵢ Zahlen von 1 bis 6 sind, z.B. (1,1,2).
Die Summe der Augenzahlen wäre eine Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion. Im Falle der Summe wäre X((ω₁, ω₂, ..., ωₙ)) = ω₁ + ω₂ + ... + ωₙ.