Was ist die Herleitung der pq-Formel?

In Mathe müssen wir die pq-Formel benutzen. Ich weiß zwar, dass sie funktioniert, aber nicht warum. Genauer gesagt verstehe ich die Herleitung bis zu dem Punkt, wo man die Formel in die binomische Formel umformt. Kann mir jemand das möglichst verständlich erklären?

Answer 1

[evtldocha]

Die Herleitung der pq-Formel erfolgt mit der Methode der quadratischen Ergänzung für die normalisierte Form einer quadratischen Gleichung.

$x^2+p\cdot x+q=\ 0\ \ \$ $x^2+p\cdot x+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q\ =0\ \ \ \ |\ +\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\ \ \ \ \ \ \ |\ \sqrt{ }$ $x_{1/2}+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\ \ \ \ \ \ |\ -\frac{p}{2}$ $x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Meine Erklärung dazu ist stets: Die Methode der quadratischen Ergänzung ist eine schlaue Art eine 0 so zu addieren, dass man eben eine binomische Formel anwenden kann (das ist der einzige Sinn der quadratischen Ergänzung). Und eine binomische Formel anwenden kann man immer, wenn man mit dem Quadrat der Hälfte des Faktors beim linearen Glied "x" (hier "p") ergänzt (und es danach natürlich wieder abzieht, damit man effektiv 0 addiert hat)

Comments

[Edgar711]

Danke für deine ausführliche Antwort. Warum kann ich aber

x²+px+(p:2)² mit (x+p:2)² gleichsetzen?

[evtldocha]

@Edgar711

Wende doch einfach mal die binomische Formel auf die rechte Seite, wenn Du die ganze Idee der quadratischen Ergänzung nicht verstehst (oder nicht ausführlich genug gelesen hast)

Manchmal hilft halt nur (selber) rückwärts rechnen, um eine Umformung zu verstehen, wie sie funktioniert.